Stetigkeit Funktion mit Gaußklammer

18.12.2014, 20:43

Shinobi.Master

Stetigkeit Funktion mit Gaußklammer

Hallo Mathefanatiker,

ich habe heute eine weitere Aufgabe, die ich nicht rechnerisch (wie gefordert), aber immerhin zeichnerisch, lösen kann und eure Ünterstüzung bedarf.

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Für welche reellen Zahlen $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ ist die folgende Funktion stetig bzw. unstetig. Begründen Sie ihre Antwort.

$\begin{eqnarray*} h: \mathbb R \rightarrow \mathbb R, h(x):= x - floor(x) - 0,5 \end{eqnarray*}$
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Mit "floor(x)" ist die Gaußklammer gemeint als Abrundungsfkt.

Wie kann ich damit rechnen? Normalerweise, würde ich ein $\begin{eqnarray*} x_n \rightarrow x_0 \end{eqnarray*}$ und ein $\begin{eqnarray*} x^*_n \rightarrow x_0 \end{eqnarray*}$ bestimmen mit $\begin{eqnarray*} x_n=z-\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x^*_n=z+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ .

Dann n gegen unendlich laufen lassen, damit der ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{1}{n}=0 \end{eqnarray*}$ wird und sodass beide Male als Ergebnis nur ein z übrig bleibt. Dann $\begin{eqnarray*} h(x_n)=z-z-0,5=0,5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h(x^*_n)=z-z-0,5=0,5 \end{eqnarray*}$ .

Da beide den gleichen Funktionswert haben ist die Funktion h an der Stelle $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ stetig und damit auch die Funktion selbst.

Würde das so gehen?

18.12.2014, 22:06

RavenOnJ

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RE: Stetigkeit Funktion mit Gaußklammer
Das ist kein Stetigkeitsbeweis für beliebige Funktionen, das hat höchstens heuristischen Wert. Wenn du Folgenstetigkeit prüfst, muss jede Folge gegen denselben Grenzwert streben, nicht nur zwei.

Vielleicht solltest du dir erst mal klar machen, wie $\begin{align*} \lfloor x\rfloor \end{align*}$ aussieht. Wo treten Unstetigkeitsstellen auf?

18.12.2014, 23:18

Shinobi.Master

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floor(x) ist bei den Geraden Zahlen unstetig, also in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ , da es immer einen Sprung macht von z.B.: 1 auf 2, 2 auf 3 und von 3 auf 4 usw.

Aber in der Funktion h treten laut meiner Zeichnung keine Unstetigkeiten auf.

19.12.2014, 00:37

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Shinobi.Master
Aber in der Funktion h treten laut meiner Zeichnung keine Unstetigkeiten auf.

Dann hast du sie falsch gezeichnet.

19.12.2014, 15:29

Shinobi.Master

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Tatsache, ich habe die Funktion mal vom Computer zeichnen lassen und sehe nun, dass diese wirklich nicht stetig ist.

Aber dann muss ich für meine Zeichnung wohl falsche Werte berechnet haben bzw. ich weiß wohl nicht wie man mit einer gaußschen Klammer richtig rechnet.

Ich dachte es wird lediglich eine Kommazahl auf eine ganze Zahl abgerundet in diesem Fall. Also z.B. 2,8 -> 2.

19.12.2014, 19:26

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Shinobi.Master
Ich dachte es wird lediglich eine Kommazahl auf eine ganze Zahl abgerundet in diesem Fall.

Ja, und das bei jeder Zahl. Die Unstetigkeitstellen liegen also - wie du schon richtig schriebst - bei $\begin{align*} \mathbb Z \end{align*}$ . Der Rest der Funktion ist stetig. Was gilt also für die Summe $\begin{align*} h(x)=x-0.5-\lfloor x\rfloor \end{align*}$ ?

19.12.2014, 23:34

Shinobi.Master

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Das diese Summe niemals einen bestimmten Wert über- bzw. unterschreitet.

19.12.2014, 23:48

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Shinobi.Master
Das diese Summe niemals einen bestimmten Wert über- bzw. unterschreitet.

Ziemlich globale Aussage. Was hat das mit der Stetigkeit zu tun?

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Stetigkeit Funktion mit Gaußklammer

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