Komplexer Vektorraum mit linearer Abbildung bzgl. Basis

19.12.2014, 10:54

Widderchen

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Komplexer Vektorraum mit linearer Abbildung bzgl. Basis

Meine Frage:
Hallo,

ich habe folgendes Problem:
Es sei V ein komplexer Vektorraum un f : V => V eine lineare Abbildung mit Abbildungsmatrix A bzgl. einer Basis (v1,...,vn).
Zeige, dass (v1,...,vn,iv1,...,ivn) eine Basis von V als reeller Vektorraum ist. Zeigen Sie, dass die Abbildungsmatrix von f als reell-lineare Abbildung dieser Basis durch

$\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} Re A & -Im A \\ Im A & Re A\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

gegeben ist, wobei Im der Imaginärteil ist. Bringe diese matrix über Zeilen- und Spaltenoperationen in die Form

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A & ? \\ 0 & vec{A}\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und drücke det B durch det A aus. der Vektorpfeil über der Untermatrix A soll eigentlich ein komplexer Konjugationsstrich sein!!

Meine Ideen:
Ich habe grunsätzlich keine Idee, wie ich von der Basis (v1,...,vn) zu der Basis (v1,...,vn,iv1,...,ivn) komme, womöglich mit Hilfe des Basisergänzungssatzes??? A ist ja die Abbildungsmatrix, also muss ich irgendwie eine Basistransformation vornehmen, indem ich die Basis von V komplex auf die Basis von V reell abbilde. Nein, das ist falsch, ich vertausche gerade abbildungsmatrix und Übergangsmatrix miteinander!!!

Zu den restlichen Teilproblemen fällt mir leider auch nichts ein!!

Viele Grüße
Widderchen

19.12.2014, 11:04

bijektion

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Nun in $\begin{eqnarray*} \mathcal{B}=\left\{ v_1,\dots,v_n\right\} \end{eqnarray*}$ liegen halb soviele Vektoren wie in $\begin{eqnarray*} \mathcal{C}=\left\{ v_1,\dots,v_n, i\cdot v_1,\dots,i\cdot v_n\right\} \end{eqnarray*}$ .
Die Skalare kommen jetzt aber auch nur noch aus $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , daher brauchen wir die auch alle.

Sei jetzt $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ . Wie kannst du $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ dann darstellen?

19.12.2014, 11:29

Widderchen

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Moment, ein Vektor v aus V lässt sich über die Basis B wie folgt darstellen:

$\begin{eqnarray*} v = a_{1}\cdot v_{1}+a_{2}v_{2}+...+a_{n}v_{n} \end{eqnarray*}$

wobei die a_i Koeffizienten aus einem Körper K sind.

Meinst du mit den skalaren die i, das sind doch imaginäre einheiten, die sind aus C, oder nicht??

19.12.2014, 11:32

bijektion

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Zitat:

Meinst du mit den skalaren die i, das sind doch imaginäre einheiten, die sind aus C, oder nicht??

Genau, $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ besitzt eine Darstellung $\begin{eqnarray*} v=\lambda_1\cdot v_1+\dots+\lambda_n\cdot v_n \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} \lambda_j\in \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ .
Dann gibt es also $\begin{eqnarray*} a_j,b_j\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \lambda_j=a_j+i\cdot b_j \end{eqnarray*}$ .

Jetzt schau dir die Basis $\begin{eqnarray*} \mathcal{C} \end{eqnarray*}$ an.

19.12.2014, 11:48

Widderchen

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Achso, so ist das gemeint, durch die Zerlegung von Real- und Imaginärteil der koeffizienten lambda_j aus C entsteht ja dann gerade die Darstellung des Vektors v über die Vektoren v_1,...,v_n, iv_1,...,iv_n Hammer

Hammer

Ok, den Teil habe ich verstanden, danke Bijektion!!

Allerdings scheinen mir die anderen Teilprobleme immer noch ein Problem zu sein. Die abbildungsmatrix A hat komplexe koeffizienten, wenn ich diese abbildungsmatrix B nun auf einen Vektor v aus V anwende und v nun als Linearkombination dieser reellen Basis dargestellt werden kann, dann muss diese Abbildungsmatrix B diese Struktur annehmen. Ich bin mir nicht sicher.

Aber vielen Dank für den ersten Teil, den habe ich verstanden!!

19.12.2014, 11:54

bijektion

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Schauen wir uns das andere an: Die Abbildungsmatrix für die Basis $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ ist ja $\begin{eqnarray*} A=M_{\mathcal{B}}^{\mathcal{B}}(f) \end{eqnarray*}$ .
Wenn $\begin{eqnarray*} A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n} \end{eqnarray*}$ ist, dann gilt $\begin{eqnarray*} a_{ij}\in\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , also wieder $\begin{eqnarray*} a_{ij}=\lambda_{ij}+i\cdot \mu_{ij} \end{eqnarray*}$ .

Du musst dir jetzt nur ansehen, wohin die Basisvektoren abgebildet werden. Was ist denn $\begin{eqnarray*} f(w) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} w\in\mathcal{C} \end{eqnarray*}$ ?

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19.12.2014, 15:02

Widderchen

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hallo,

naja, f(w) für w aus C ist prinzipiell einfache Matrizenmultiplikation. C ist ja auch eine Basis von V , d.h. w aus C lässt sich als Linearkombination der Basis aus C darstellen. Da f eine lineare abbildung und von V auf V abbildet, muss f(w) wieder in V liegen. ok, ich hoffe, ich verstehe das Prinzip:
Ich bilde mit der matrix A einen Vektor aus der linearen Hülle von C ab und diese abbildungsmatrix A eingeschränkt auf diese Basis C ist dann die gesuchte Abbildungsmatrix, ist das richtig??

Also wenn A aus komplexen einträgen (a_ij) besteht und w aus C, dann ist f(w) = A*w
Sei w = (w1,...,wn). dann folgt durch Matrizenmultiplikation:

a_11*w1 + ... + a_1n*wn usw. und so fort.

Moment, Moment: In der Aufgabenstellung steht doch, dass A über diese Basis C eine reell-lineare abbildung ist, d.h. doch dass die einträge a_ij reelle Zahlen sein müssen. Denn dann werden die Basisvektoren aus C auch tatsächlich über eine Matrix dieser Form abgebildet. eingeschränkt auf v1,....,vn entsteht dann im oberen Quadranten nur Realteil, da reelle Zahl mal reelle Zahl wieder reell ist. Und eingeschränkt auf die Basisvektoren iv1, ..., ivn dann der Im A - Teil der unter Re A steht, usw.....

Oh je, jetzt bin ich total verwirrt!! tut mir Leid, ich komme einfach nicht so schnel dahinter! ich habe auch versucht f(w) auszurechnen, aber irgendetwas ist falsch!!

19.12.2014, 15:29

bijektion

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Wir wissen: $\begin{eqnarray*} f(v_j)=\sum_{l=1}^n a_{lj} \cdot v_j \end{eqnarray*}$ wegen $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Wenn $\begin{eqnarray*} A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n} \end{eqnarray*}$ ist, dann gilt $\begin{eqnarray*} a_{ij}\in\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ , also wieder $\begin{eqnarray*} a_{ij}=\lambda_{ij}+i\cdot \mu_{ij} \end{eqnarray*}$ .

Also weiter $\begin{eqnarray*} f(v_j)=\sum_{l=1}^n (\lambda_{lj}+i\cdot \mu_{lj})\cdot v_j = \sum_{l=1}^n \lambda_{lj} \cdot v_j + i\cdot \sum_{l=1}^n \mu_{lj}\cdot v_j = \sum_{l=1}^n \mathrm{Re}(a_{lj}) \cdot v_j + i\cdot \sum_{l=1}^n \mathrm{Im}(a_{lj})\cdot v_j \end{eqnarray*}$ .

Fällt dir jetzt schon was auf? Das ist nämlich die Matrix $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ wo der hintere $\begin{eqnarray*} 2n \times n \end{eqnarray*}$ -Block abgeschnitten ist; den erhälst du, indem du dir die Bilder von $\begin{eqnarray*} i\cdot v_j \end{eqnarray*}$ ansiehst.

19.12.2014, 15:47

Widderchen

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Seufz,

ja jetzt sehe ich es, der linke Teil der Matrix B entsteht dann analog durch Multilplikation mit iv_j , da i*i = -1 und so weiter....Jetzt ist es so klar!! Hammer

Hammer

Also besitzt A tatsächlich komplexe Einträge und die Bezeichnung reell-lineare abbildung rührt daher, dass eine eingeschränkte Abbildung auf den Vektorraum V reell vorgenommen wird.

Ok, schließlich muss ich diese Matrix in Zeilenstufenform überführen und dann die determinante von B in Abhängigkeit von det A ermitteln.

durch Zeilen- und Spaltenoperationen bleibt die Determinante invariant, das heißt ich betrachte dann die det der Zeilenstufenform, welche ja eine obere dreiecksmatrix ist. Und die Determinante einer oberen dreiecksmatrix entspricht doch dem Produkt der hauptdiagonalelemente der Matrix, oder?

Aber die Matrix B besteht dann nur aus reellen einträgen, da ich ja nur Real- und Imaginäranteile der komplexen einträge von a_ij betrachte, richtig??

Falls ich irgendwo nicht weiterkomme, melde ich mich wieder, aber vielen vielen Dank für deine Hilfe, Bijektion, jetzt ist mir vieles klarer geworden!!!

Widderchen

19.12.2014, 16:05

bijektion

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Zitat:

Aber die Matrix B besteht dann nur aus reellen einträgen, da ich ja nur Real- und Imaginäranteile der komplexen einträge von a_ij betrachte, richtig??

Ja.

20.12.2014, 18:31

Widderchen

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Hallo,

wie erwartet, hänge ich mal wieder fest!
Ich habe Probleme, die Matrix B in Zeilenstufenform zu überführen! Die Matrix B ist eine 2n x 2n Matrix mit den Einträgen lambda_(ij) im oberen linken und unteren rechten Quadranten und den Einträgen
mü_(ij) im unteren linken und - mü_(ij) im oberen rechten Quadranten von B, wobei 1 < i , j < n .

Ich frage mich, ob ich zunächst durch geeignete Zeilen- oder Spaltenvertauschungen alle müs und lambdas jeweils auf eine seite bekommen kann. Aber ich weiß nicht, wie das funktionieren soll!!

Außerdem muss ich die Matrix in die Form

A ?

0 A*

überführen, das heißt die transformierte Matrix muss wieder komplexe Einträge enthalten. Womöglich muss ich die Zeilen dann abschließend mit der imaginären einheit i bzw. - i multiplizieren, um einen komplexen sowie einen komplex-konjugierten Anteil in der Zeilenstufenform zu erhalten.

Die Determinante dieser Matrix muss dann det B entsprechen, da die Determiante eine Invariante bzgl. Zeilentransformationen ist. Wenn allerdings Vertauschungen vorgenommen werden sollten, so ändert die Determinante ihr Vorzeichen.

Über Hilfe würde ich mich sehr freuen!!!

Widderchen

20.12.2014, 18:36

Widderchen

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Achja,

und die Determinante von B kann dann über den Determinantenproduktsatz

det B = det (A) * det (A*) * "Vorzeichen der Determinante (aufgrund möglicher Vertauschungen)"

ausgedrückt werden, oder???

20.12.2014, 21:24

Widderchen

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Wie überführe ich die Matrix

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda _{11} ...\lambda_{1n} & -\mu_{11} ... -\mu_{1n} \\ \lambda _{n1} ... \lambda _{nn} & -\mu_{n1}...-\mu_{nn} \\ \mu_{11} ... \mu_{1n} & \lambda _{11} ...\lambda_{1n} \\ \mu_{n1}...\mu_{nn} & \lambda_{n1} ... \lambda _{nn}\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

in die gewünschte Form

A ?
0 A* ??????

Ich komme einfach nicht weiter!! Augenzwinkern

Augenzwinkern

Widderchen

21.12.2014, 19:06

Widderchen

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Hallo??

Kann mir niemand behilflich sein??? Ich weiß, dass ich bestimmte Zeilen- und Spaltenoperationen ausführen muss, um die gewünschte Form zu erhalten, allerdings brauche ich immer einen Hinweis, um ein bestimmtes Rechenmuster zu erkennen.

Die Determinante der Matrix kann ich ja, wie bereits gesagt, über den Determinantenproduktsatz darstellen, da B die Form einer Diagonalblockmatrix besitzt.

Ich benötige also im Grunde nur noch dias "Rezept" zur Matrixtransformation.

Vielen Dank
Widderchen

22.12.2014, 16:03

bijektion

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Du hast $\begin{eqnarray*} B = \begin{pmatrix} \mathrm{Re} (A) & - \mathrm{Im}(A) \\ \mathrm{Im} (A) & \mathrm{Re} (A)\\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , du könntest etwa eine geeignete Darstellung für $\begin{eqnarray*} \mathrm{Re} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathrm{Im} \end{eqnarray*}$ wählen und $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} (A+\overline{A}) & -\frac{1}{2i} (A-\overline{A})\\\frac{1}{2i} (A-\overline{A}) & \frac{1}{2} (A+\overline{A}) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ erhalten.

22.12.2014, 19:49

Widderchen

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Vielen Dank für deine Rückmeldung, Bijektion!!

Muss ich die Matrix eigentlich in der expliziten Form (damit meine ich die Darstellung mit den Lambdas und Müs, die ich im vorigen Post erwähnt hatte) in Zeilenstufenform überführen oder kann ich auch mit der allgeminen Form von B operieren???

Offenbar gilt ja : Re(a_ij) = 1/2 * (a_ij + a_ij*) und so weiter, das heißt also, ich kann mit diesen Ausdrücken weiterrechnen.

Dann multipliziere ich den unteren linken Block der matrix (also Im(A) ) mit i und subtrahiere anschließend die unteren n zeilen von den oberen n Zeilen. Dann erhalte ich im unteren linken Block alle komplex-konjugierten Einträge. Wie eliminiere ich diese nun???

Seufz!! Irgendwie bringt mich das dann auch nicht weiter, da ich es nicht schaffe, unten eine Nullmatrix zu erhalten. Das frustriert mich ganz schön!!

22.12.2014, 19:57

bijektion

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Du kannst einfach in der Form $\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} (A+\overline{A}) & -\frac{1}{2i} (A-\overline{A})\\\frac{1}{2i} (A-\overline{A}) & \frac{1}{2} (A+\overline{A}) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ fortfahren.

Erstmal erkennst du, das überall ein $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ auftaucht, dann kannst du $\begin{eqnarray*} \frac{1}{i}=-i \end{eqnarray*}$ benutzen.

Welche Eigenschaften hat nun die Determinante?

22.12.2014, 20:20

Widderchen

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Ok,

Multiplikation mit 2 und ausnutzen der Identität - i = 1 / i liefert die Form

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A + A^* & i(A - A^*) & \\ -i(A - A^*) & A + A^* & \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Die Determinante ist linear bzgl. Vektoraddition und Skalamultilpikation, hmmmmm???

22.12.2014, 20:46

bijektion

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A + A^* & i(A - A^*) & \\ -i(A - A^*) & A + A^* & \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ hat jetzt natürlich eine (um eine Konstante) andere Determinante als $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ .

Du kannst jetzt aber einfach das $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ -fache der ersten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Zeilen auf die zweiten $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ -Zeilen addieren.

22.12.2014, 20:56

Widderchen

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Ok, die Konstante ist 2,

Wenn ich das i-fache der ersten n Zeilen auf die zweiten n Zeilen addiere, dann erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} A + A^* & i(A - A^*) & \\ 2iA^* & 2 A^* & \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

22.12.2014, 21:04

bijektion

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Ja.

22.12.2014, 21:08

Widderchen

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Halt, Moment mal,

die Konstante ist nicht 2, sondern 2^(2n) = 4^n , da wir eine 2n x 2n Matrix vorliegen haben. Die Multiplikation mit 2 wird an allen Zeilen vorgenommen.

Mit det (2*v1, ...., 2*v(2n)) = 4^n * det (v1,.... , v(2n)) , oder??????

22.12.2014, 21:12

bijektion

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Nein, die Konstante ist dann $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4^n} \end{eqnarray*}$ .

22.12.2014, 21:27

Widderchen

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Ah, gut,

Multilplikation mit - i in den ersten n Spalten und anschließende Subtraktion der letzten n Spalten von den ersten n Spalten liefert dann die Form:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2iA & i(A - A^*) & \\ 0 & 2A^* & \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Warum 4^(-n) ? Weil das dann auf die andere Seite dividiert wird??? Versteh ich nicht!!

23.12.2014, 12:29

Widderchen

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Ok,

ich habe jetzt verstanden, wie der Faktor 4^(-n) entsteht. Ganz einfach, weil der Faktor "1/2" potenziert mit 2n herausgezogen wird.

Zum Schluss muss ich dann noch die Fakoren (-2i)^n der ersten n Spalten sowie den Faktor 2^n der letzten n Spalten herausziehen. Dadurch ändert sich die Determinante insgesamt um den Faktor

(1/4^n ) * (2^n) * (-2i)^n = ( - i )^n und erhalte die Matrix der Form

A - Im(A)

0 A*

Stimmt das so??

Viele Grüße
Widderchen

23.12.2014, 14:31

Widderchen

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Nein, das geht doch nicht!

ich kann doch nicht einfach von den ersten n Spalten den einen Faktor und von den letzten n Spalten einen anderen Faktor herausziehen, ohne dass sich die Faktorisierung auf die übrigen Spalten überträgt, das ist unsinnig!! Das verletzt die Skalarmultiplikationseigenschaft von Matrizen!! Aber dann erhalte ich doch nie die gewünschte Form, es sei denn die Vorfaktoren -2i und 2 dürfen so stehen bleiben.
Irgendetwas mache ich falsch, oder reicht es aus den Faktor (-2i) herauszuziehen????
Dann habe ich in der unteren Blockmatrix den Faktor - 1 / i = i stehen.
Hier komme ich nicht weiter.

Viele Grüße
Widderchen

28.12.2014, 22:23

Widderchen

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Hallo,

kann mir niemand helfen? Wie im vorigen Post erwähnt, habe ich die bisherigen Spalten- bzw. Zeilenoperationen an der Matrix B nachvollziehen können.
Allerdings komme ich an dieser Stelle nicht weiter. Die Matrix hat nun folgende Gestalt:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -2iA & i(A-A^*) \\ 0 & 2A^* \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun bspw. den Faktor -2i herausziehe, dann hat die untere Teilmatrix die Form i A* .
Wie entferne ich nun den Faktor i , um die gewünschte Form zu erhalten???

Det (B) kann dann über det (A) und det (A*) dargestellt werden, ist das richtig??

Viele Grüße und ein frohes neues Jahr
Widderchen

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