Entwickeln von x/(1-x^2)

19.12.2014, 13:40

DrHWI

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Entwickeln von x/(1-x^2)

Meine Frage:
Folgende Reihe soll entwickelt werden für $\begin{eqnarray*} x_0=0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x}{(1-x^{2})} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe nun angefangen Ableitungen zu berechnen. Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob ich nicht vielleicht etwas übersehe bezüglich des Kürzens.
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{1-x^{2}+2x^{2}}{(1-x^{2})^{2}} = \frac{1+x^2}{(1-x^2)^2} \end{eqnarray*}$

Kann ich hier noch iiiirgendwas kürzen? Denn wenn ich nun weiterhin Ableitungen berechne, werden diese bereits ab der 3. praktisch kaum noch schriftlich machbar.

19.12.2014, 13:55

Matt Eagle

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RE: Entwickeln von x/(1-x^2)
Kennst Du die geometrische Reihe?

19.12.2014, 14:04

Bjoern1982

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Vielleicht hilft ja sowas hier:

$\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x}{1-x^{2}}=\frac{x}{(1-x)(1+x)}=\frac{A}{(1-x)}+\frac{B}{(1+x)}=... \end{eqnarray*}$

Stichwort Partialbruchzerlegung

19.12.2014, 14:43

DrHWI

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Die geometrische Reihe? ...nein, ich glaube nicht.

Soll ich also
$\begin{eqnarray*} \frac{1+x^2}{(1-x^2)^2} \end{eqnarray*}$

zerlegen in

$\begin{eqnarray*} \frac{1+x^2}{(1-x)(1+x)(1-x)(1+x)}<br /> = \frac{1}{(1-x)^2} \end{eqnarray*}$ ?

Das sähe auf jeden Fall sehr gut aus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

19.12.2014, 14:56

klarsoweit

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RE: Entwickeln von x/(1-x^2)
Nein, du solltest nicht mit der Taylorreihe arbeiten, sondern nur mit $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{x}{(1-x^{2})} \end{eqnarray*}$ und diese auf geometrische Reihen zurückführen.

19.12.2014, 15:03

DrHWI

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Auf geometrische Reihen zurückführen?! Warum ist es nicht einfach über die Taylorreihe berechenbar?

Und ich sehe gerade, dass wenn ich die Ableitungen so weiterführe, für die 2. Ableitung
$\begin{eqnarray*} f''(x)=\frac{-2(x-1)}{(x-1)^4}=\frac{-2}{(x-1)^3} \end{eqnarray*}$ errechnen würde. Für mein $\begin{eqnarray*} f''(0) \end{eqnarray*}$ würde sich dann gleich 2 ergeben. Und das kann nicht stimmen? Laut Lösung muss meine Reihe $\begin{eqnarray*} y = x + x^3 + x^5 + x^7 + ... \end{eqnarray*}$ lauten. unglücklich

unglücklich

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19.12.2014, 15:19

Matt Eagle

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Da darfst natürlich auch gerne die n-ten Ableitungen ausrechnen.

Es hat aber schon seinen Grund, dass dir zuerst mal der Weg über die geometrische Reihe vorgeschlagen wurde, denn damit wird das Ganze maximal zum Einzeiler.

19.12.2014, 15:23

DrHWI

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Könnte mir jemand erklären, wie dieser Weg funktioniert? unglücklich

unglücklich

19.12.2014, 17:28

Dopap

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ich denke, dass es um folgendes geht:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x\cdot \frac {1}{1-x^2} \end{eqnarray*}$ und mit u=x^2 wird Faktoer 2 zu

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{1-u} \end{eqnarray*}$ und wie kann man das als unendiche Reihe schreiben ?

19.12.2014, 18:54

DrHWI

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Ähm, also ich bin mir gerade wirklich nicht sicher, ob ich das hier richtig verstehe... aber vielleicht
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-n} oder \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ ?

19.12.2014, 19:27

Dopap

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na, du könntest jetzt $\begin{eqnarray*} \frac {1}{1-u} \end{eqnarray*}$

umständlich auch in einer Taylorreihe entwickeln, aber die ist ja als geometrische Reihe allgemein bekannt:

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{1-u}=\sum_{k=0}^{\infty} u^k \end{eqnarray*}$

jetzt nur noch rücksubstituieren und mit x durchmultiplizieren...

19.12.2014, 19:40

DrHWI

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Also es tut mir leid, ich habe das Thema erst vor Kurzem nun in der Uni gehabt, es ist auch ganz und gar nichts mein Lieblingsthema und ich verstehe momentan gar nichts. Hammer

Hammer

Wie komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac {1}{1-u}=\sum_{k=0}^{\infty} u^k \end{eqnarray*}$ ? Gibt es dabei ein System? Eine Formel? Irgendwas? unglücklich

unglücklich

19.12.2014, 19:54

Dopap

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Zitat:

Original von DrHWI
Wie komme ich auf $\begin{eqnarray*} \frac {1}{1-u}=\sum_{k=0}^{\infty} u^k \end{eqnarray*}$ ? Gibt es dabei ein System? Eine Formel? Irgendwas? unglücklich

unglücklich

Das ist die geometrische Reihe. Allgemeingut wie die Binomischen Formeln. Aber ich habe ja schon erwähnt, dass du das ebenfalls mit Taylor selbst nachrechnen kannst.

$\begin{eqnarray*} g(u)=\frac {1}{1-u} \end{eqnarray*}$

und jetzt g'(u), g''(u) , g'''(u) ... und das allgemeine Glied $\begin{eqnarray*} g^{(n)}(u) \end{eqnarray*}$ berechnen.

19.12.2014, 20:48

DrHWI

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Und was nun nach dem Ableiten? verwirrt

verwirrt

Allein wenn ich f''(a) berechne, komme ich wieder auf -2. Das kann nicht stimmen, wenn doch nur jede ungerade Potenz in der Reihe enthalten sein soll?

19.12.2014, 20:58

Dopap

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nun, da du nicht auf die Vorschläge eingehen willst, unglücklich

unglücklich

sei dann angemerkt, dass dein f''(x) falsch ist.

19.12.2014, 21:04

DrHWI

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Entschuldigung, habe ich wieder etwas übersehen? unglücklich

unglücklich

Ich verstehe leider nur Bahnhof und versuche nur die Ratschläge, die ich bekomme, umzusetzen, ohne zu verstehen, was oder warum ich das hier gerade mache. Hammer

Hammer

Ich habe nun inzwischen meine Uniunterlagen, sämtliche Formelsammlungen und Fachbücher zu dem Thema durchgeblättert, aber es macht einfach nicht klick. Zumal wird die geometrische Reihe in meinen Unterlagen nicht einmal irgendwo erwähnt.
Ich dachte, ich solle nun die geometrische Reihe ableiten? Habe ich da etwas falsch verstanden? Tut mir leid, ich möchte wirklich die Hinweise nicht missachten. unglücklich

unglücklich

19.12.2014, 21:09

DrHWI

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Entschuldigung, habe ich wieder etwas übersehen? unglücklich

unglücklich

Ich verstehe leider nur Bahnhof und versuche nur die Ratschläge, die ich bekomme, umzusetzen, ohne zu verstehen, was oder warum ich das hier gerade mache. Hammer

Hammer

Ich habe nun inzwischen meine Uniunterlagen, sämtliche Formelsammlungen und Fachbücher zu dem Thema durchgeblättert, aber es macht einfach nicht klick. Zumal wird die geometrische Reihe in meinen Unterlagen nicht einmal irgendwo erwähnt.
Ich dachte, ich solle nun die geometrische Reihe ableiten? Habe ich da etwas falsch verstanden? Tut mir leid, ich möchte wirklich die Hinweise nicht missachten. unglücklich

unglücklich

19.12.2014, 21:45

Dopap

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Der Witz ist doch, dass die geometrische Reihe schon in der Schule bekannt ist, und im Hochschulbereich nicht erwähnt wird. smile

smile

Deshalb kannst du diese hier einfach übernehmen!

$\begin{eqnarray*} f(x) = x\cdot (1+u+u^2 + u^3+u^4+...) \end{eqnarray*}$ mit der Substitution $\begin{eqnarray*} u=x^2 \end{eqnarray*}$

wird es jetzt klarer?

19.12.2014, 22:47

DrHWI

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Och mensch, danke, natürlich, das war ja nun schon ein Wink mit dem Zaunpfahl... smile

smile

Vielen Dank, ich denke, den Rest kann ich mir nun wirklich selbst denken...falls es da noch irgendwas zum Nachdenken geben sollte. Ich muss unbedingt mal den Gymnasialstoff wiederholen. Forum Kloppe

Forum Kloppe

19.12.2014, 23:13

Dopap

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Zitat:

Original von DrHWI
[...] Ich muss unbedingt mal den Gymnasialstoff wiederholen.[...]

damit das was wird, würde ich an deine Stelle noch vor Weihnachten damit beginnen. Wink

Wink

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