Beweise: Ist f beschränkt und stetig, so besitzt f ein globales Maximum

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19.12.2014, 15:03	flexray	Auf diesen Beitrag antworten »
Beweise: Ist f beschränkt und stetig, so besitzt f ein globales Maximum Meine Frage: Hallo liebe Mathematiker, habe folgende Aufgabenstellung: Beweisen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: Ist f: C -> R stetig und f(C) beschraenkt, so besitzt f ein globales Maximum und Minimum. Das "C" steht für die Komplexen Zahlen (weiss nicht, wie ich das hier darstellen kann). Meine Ideen: Mein Gedanke ist im Moment, dass diese Aussage nicht stimmt. Gibt es nicht auch Funktionen, die zwar stetig & beschraenkt sind, aber trotzdem kein Maximum/Minimum haben? Zum Beispiel dann, wenn ich den Wertebereich einschraenke (Bsp: [0,1) - hier wäre das Supremum 1, aber da 1 nicht im Wertebereich, existiert kein Max). Oder ist dieses Halboffene Intervall hier stumpfsinnig? Wäre sehr froh um Hilfestellung, verstehe in Analysis nur ca. 30% vom Stoff ;-(
19.12.2014, 15:15	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier ist ja auch $\begin{eqnarray} f:\mathbb{C}\to\mathbb{R} \end{eqnarray}$ und nicht $\begin{eqnarray} f:A\to\mathbb{R} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} A\subset\mathbb{C} \end{eqnarray}$ .
19.12.2014, 15:43	Nofeykx	Auf diesen Beitrag antworten »
Das hört sich jetzt irgendwie so an, als wäre die Aussage richtig. Ich finde man sollte jemanden, der sowieso nur 30% versteht nicht auf eine falsche Fährte locken. Deine Intuition ist jedenfalls richtig. Die Aussage ist falsch. Mach dich vielleicht erstmal auf die Suche nach einer stetigen Funktion $\begin{eqnarray} f:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray}$ , die beschränkt ist aber kein Maximum annimmt und versuche danach, dieses $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ so umzudefinieren, dass es auf den komplexen Zahlen startet.
19.12.2014, 16:21	flexray	Auf diesen Beitrag antworten »
@Nofeykx: Okay, werde ich auf die Suche machen. Muss jetzt meine Kinder abholen, komme erst wieder ab 21:00 Uhr dazu, also bitte nicht über die verzögerte Antwort wundern. Danke. - flexray
19.12.2014, 19:36	flexray	Auf diesen Beitrag antworten »
Meine Suche hat ergeben: Eine Funktion ist beschränkt, wenn sie nach OBEN UND nach UNTEN beschränkt ist. Ob Beschränktheit grundsätzlich bedeutet, dass es Extremwerte gibt habe ich nicht rausgefunden bisher. Gibt es denn eine Funktion, die beschränkt ist in der Weise, dass sie nach oben hin sich einem Wert annähert und nach unten hin sich ebenfalls einem Wert nur annähert? In diesem Falle gäbe es keine Extremwerte. Vielleicht gibt es aber eine solche Funktion in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ auch gar nicht... Angenommen, es gäbe keine solche Funktion, dann hieße das, eine beschränkte Funktion hat IMMER ein Maximum und ein Minimum. Ist das so? Gedankenübertragung auf $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ hat noch nicht stattgefunden, muss die Grundsätze ja erst mal klären.
20.12.2014, 14:09	DrMath	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein Beispiel für ein Funktion mit Definitionsbereich in den reellen Zahlen, die in dein halboffenes Intervall abbildet, aber kein Maximum annimmt, dürfte z.B. $\begin{eqnarray} f(x)=1-e^{-\|x\|} \end{eqnarray}$ sein.
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20.12.2014, 15:24	flexray	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, dann heißt das: Funktion beschränkt und stetig heißt nicht automatisch, dass es ein Maximum und Minimum geben muss.
20.12.2014, 15:42	DrMath	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, aber die Funktion ist momentan noch nur auf den reellen, nicht den komplexen Zahlen definiert und stetig. Man müsste sie also noch geeignet "verbessern".
20.12.2014, 16:01	flexray	Auf diesen Beitrag antworten »
Das gleiche müsste doch dann auch für $\begin{eqnarray} f:\mathbb{C}\to\mathbb{R} \end{eqnarray}$ gelten, oder? Das hieße, die Aussage ist falsch. Und für den Beweis müsste ich eine Funktion definieren, die beschränkt, stetig und ohne Maximum/Minimum ist. Richtig?
20.12.2014, 16:20	DrMath	Auf diesen Beitrag antworten »
Fast korrekt. Die Aussage ist zwar wirklich falsch, genau weißt du es streng genommen aber erst, wenn du eine passende Funktion (wie von dir vorgeschlagen) konstruiert hast. Es reicht ja aber auch schon zu zeigen, dass nur das Maximum oder nur das Minimum fehlt.
21.12.2014, 20:20	flexray	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, wie wäre es, wenn ich in der obigen Formel anstatt dem x ein im(z) eintragen würde. $\begin{eqnarray} f(x)=1-e^{-\|Im(z)\|} \end{eqnarray}$ Wäre das eine gültige Funktion, die von $\begin{eqnarray} \mathbb {C} \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \mathbb {R} \end{eqnarray}$ abbildet, stetig ist, beschränkt ist, aber kein Maximum hat?
21.12.2014, 23:23	DrMath	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das sollte (mit f(z) anstatt f(x)) funktionieren.
22.12.2014, 09:48	flexray	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, habe nun noch argumentiert, dass der Limes der Funktion 1 ist. $\begin{eqnarray} <br /> \lim_{Im(z) \to \infty } 1 - \lim_{Im(z) \to \infty } e^{-\|Im(z)\|} = 1 - \lim_{x \to \infty } e^{-\|x\|} = 1 - 0 = 1 \end{eqnarray}$ . Darf man das so schreiben (mit der Vereinfachung auf x anstatt Im(z) ? Das reicht aber als Beweis denke ich nicht. Wie beweise ich nun noch, dass der Wert 1 nie erreicht wird? Hm, muss man hier nun 1 als Funktionswert einsetzen, dann auflösen und dann feststellen, dass eine falsche Aussage rauskommt?
22.12.2014, 10:03	flexray	Auf diesen Beitrag antworten »
Okax, die 1 als Funktionswert eingesetzt ergibt: $\begin{eqnarray} <br /><br /> 1 - e^{-\|Im(z)\|} = 1<br /> e^{-\|Im(z)\|} = 0 <br /> -\|Im(z)\| = ln(0) <br /> \end{eqnarray}$ Da ln(0) nicht definiert ist, kann der Wert "1" kein Funktionswert sein. Stimmt diese Argumentation so?
30.12.2014, 22:57	flexray	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für Eure Mithilfe! Die Aussage war tatsächlich falsch, auch wenn meine Kommilitonen davon überzeugt waren, dass die Aussage stimmt. (Bolzano-Weierstrass). Ich bin Euch sehr dankbar, dass ihr mich auf meinem Gedankengang unterstützt habt. Ciao - bis zum nächsten mal.

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