Vererbung lineare (Un-)Abhängikeit beweisen

19.12.2014, 17:07

Shinobi.Master

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Vererbung lineare (Un-)Abhängikeit beweisen

Hallo Mathefreunde,

ich habe eine letzte Aufgabe für dieses Jahr für euch, bei der ich mir nicht sicher bin.

--------------------------------------------------
Sei K ein Körper und V,W zwei K-Vektorräume sowie $\begin{eqnarray*} L: V \rightarrow W \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung.

Zeigen Sie, dass für alle $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \in V \end{eqnarray*}$ gilt:

a)
(i) Sind $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ linear abhängig, dann sind auch $\begin{eqnarray*} L(v_1),...,L(v_n) \end{eqnarray*}$ linear abhängig.

(ii) Sind $\begin{eqnarray*} L(v_1),...,L(v_n) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig, dann sind auch $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

b) Ist L injektiv, dann sind $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ genau dann linear unabhängig, wenn $\begin{eqnarray*} L(v_1),...,L(v_n) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.
---------------------------------------------------
Zu a)(i) Ich habe mir für L(v) eine eigene Funktion überlegt ( $\begin{eqnarray*} L(v)=2\cdot v+\begin{pmatrix} 2 \\ 2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ), in der ich dann 2 linear abhängige Vektoren abgebildet habe. $\begin{eqnarray*} v_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 3\end{pmatrix}, v_2=\begin{pmatrix} -1 \\ -3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Als Ergebnis kam dann $\begin{eqnarray*} w_1=\begin{pmatrix} 4 \\ 8\end{pmatrix}, w_2=\begin{pmatrix} 0 \\ -4\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und diese sind, wie man sieht, nicht linear abhängig.

Heißt das jetzt, dass dieser Zusammenhang nicht gilt oder habe ich was falsch gemacht?

19.12.2014, 17:28

Iorek

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Hast du denn einmal überprüft, ob deine Abbildung linear ist? geschockt

geschockt

19.12.2014, 17:31

Shinobi.Master

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Oha, stimmt. Wie mach ich denn das?

19.12.2014, 17:34

Iorek

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Falls du mit "das" die Linearität meinst, das geht einfach über die Definition einer linearen Abbildung.

Falls du mit "das" einen Beweis für die Aussage meinst, das geht hier einfach über die Definition der linearen (Un-)Abhängigkeit und unter Ausnutzung der Eigenschaften einer linearen Abbildung. Fang einfach mal an mit:
"Seien $\begin{eqnarray*} v_1,\dots v_n \end{eqnarray*}$ linear abhängig, dann existieren...

19.12.2014, 17:42

Shinobi.Master

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Seien $\begin{eqnarray*} v_1,\dots v_n \end{eqnarray*}$ linear abhängig, dann existieren ebenso viele $\begin{eqnarray*} w_1,\dots w_n \end{eqnarray*}$ , die ebenfalls linear abhängig sind? Nein kann nicht sein. Das wäre ja schon die Aussage, die es zu beweisen gilt, nur in etwas anderer Ausdrucksweise...

19.12.2014, 17:49

Iorek

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Ja, das ist die zu zeigende Aussage. Nutze die Definition von linearer (Un-)Abhängigkeit aus...

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19.12.2014, 23:46

Shinobi.Master

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Def. für lineare Unabhängigkeit:
--------------------------------------------
Wenn die Gleichung
$\begin{eqnarray*} k_1\cdot v_1 + k_2\cdot v_2 + ... + k_n\cdot v_n = 0 \end{eqnarray*}$

nur genau dann Null ist, wenn
$\begin{eqnarray*} k_1=...=k_n = 0 \end{eqnarray*}$

dann sind die Vektoren linear unabhängig.
---------------------------------------------

Das heißt jetzt in meinem Fall: Da die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,\dots v_n \end{eqnarray*}$ linear abhängig sind, ist $\begin{eqnarray*} k_1\neq ... \neq k_n \end{eqnarray*}$ .

Weiterhin gilt für die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} k_1\cdot v_1 + k_2\cdot v_2 + ... + k_n\cdot v_n = 0<br /> <br /> \Rightarrow L(k_1\cdot v_1) + L(k_2\cdot v_2) + ... + L(k_n\cdot v_n) = 0<br /> <br /> = L(k_1\cdot v_1 + k_2\cdot v_2 + ... + k_n\cdot v_n) = 0<br /> \end{eqnarray*}$

Wie bring ich das jetzt zum Ende?

$\begin{eqnarray*} L(k_1\cdot v_1 + k_2\cdot v_2 + ... + k_n\cdot v_n) = 0<br /> <br /> = k_1\cdot w_1 + k_2\cdot w_2 + ... + k_n\cdot w_n = 0 \end{eqnarray*}$

und da L eine lineare Abbildung ist sowie $\begin{eqnarray*} k_1\neq ... \neq k_n \end{eqnarray*}$ , sind auch die Vektoren $\begin{eqnarray*} w_1,...,w_n \end{eqnarray*}$ linear abhängig?

20.12.2014, 00:11

Iorek

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Der Gedanke ist gut, allerdings ist das mit dem $\begin{eqnarray*} k_1\neq\dots k_n \end{eqnarray*}$ noch nicht in Ordnung. Wenn die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,\dots,v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind, dann existieren $\begin{eqnarray*} k_1,\dots k_n \end{eqnarray*}$ , wobei mindestens ein $\begin{eqnarray*} k_i\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist, d.h. die $\begin{eqnarray*} k_i \end{eqnarray*}$ können also durchaus auch alle gleich sein.

Außerdem ist der Aufbau deiner Äquivalenzumformung nicht logisch.

$\begin{eqnarray*} k_1v_1+\dots+k_nv_n=0 \Leftrightarrow L(k_1v_1+\dots+k_nv_n)=L(0) \end{eqnarray*}$ , erst jetzt kannst du die Linearität verwenden und die linke Seite entsprechend auseinanderziehen.

20.12.2014, 01:13

Shinobi.Master

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Und wäre dann damit a)(i) bewiesen, wenn ich das so korrigiere, wie du es mir beschrieben hast oder fehlt dann noch ein Schritt?

20.12.2014, 11:12

Iorek

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Im Prinzip ja, allerdings kommt mir deine Frage so vor, als hättest du deinen Beweis selber noch nicht ganz verstanden...ist dir klar, wieso die Aussage damit nun bewiesen ist? Schreibe den Beweis am besten noch einmal auf und nimm dir für jeden Schritt, für jede Folgerung Zeit darüber nachzudenken. Kannst du jede Sache in deinem Beweis begründen?

20.12.2014, 15:51

Shinobi.Master

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Es ist einfach so, dass ich ziemlich skeptisch geworden bin, was Beweise angeht. Meistens hatte ich das Glück, dass die Beweise die ich geführt habe entweder zu kurz sind und hätten einen viel längeren Lösungsweg gebraucht bzw. wenn ich einen längeren Beweis führe, ist die Lösung meist simpler als gedacht.

Deshalb die Zusammenhänge sind mir durchaus bewusst... nur empfinde ich es als ziemlich kurz bzw. sogar als eine zu einfache Beweismethode.

Nun aber zu a)(ii): Im groben ist es doch das Gleiche, nur das man jetzt von hinten aufrollt und dieses Mal linear unabhängige Vektoren besitzt. D.h.:

$\begin{eqnarray*} k_1\cdot w_1 + k_2\cdot w_2 + ... + k_n\cdot w_n = 0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k_1=...=k_n = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow L(k_1\cdot v_1) + L(k_2\cdot v_2) + ... + L(k_n\cdot v_n) = L(0)<br /> <br /> = L(k_1\cdot v_1 + k_2\cdot v_2 + ... + k_n\cdot v_n) = L(0)<br /> <br /> <br /> \Rightarrow k_1\cdot v_1 + k_2\cdot v_2 + ... + k_n\cdot v_n = 0 \end{eqnarray*}$

und da $\begin{eqnarray*} k_1=...=k_n = 0 \end{eqnarray*}$ gilt, sind auch die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,\dots,v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig. Oder?

20.12.2014, 18:08

Iorek

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Warum sind die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,\dots,v_n \end{eqnarray*}$ denn nun linear abhängig? Mit dieser Argumentation hast du lediglich gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} 0\cdot v_1+\dots 0\cdot v_n=0 \end{eqnarray*}$ ist, nicht aber, dass dies die einzige Möglichkeit ist. Da fehlt noch etwas, um das hinzubekommen (mit einem Widerspruchsbeweis würde es mMn übrigens einfacher gehen).

20.12.2014, 18:14

Shinobi.Master

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Widerspruchsbeweise zu führen fallen mir noch schwerer als "normale" Beweise, denn ich gerate schon ganz von allein in Widersprüche Hammer

Hammer

Also in welchen Widerspruch muss ich denn die Aussage führen? Das die Aussage: "Sind $\begin{eqnarray*} L(v_1),...,L(v_n) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig, dann sind auch $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig" nicht gilt?

20.12.2014, 18:23

Iorek

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Du sollst zeigen, dass aus der linearen Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} L(v_1),\dots,L(v_n) \end{eqnarray*}$ folgt, dass schon $\begin{eqnarray*} v_1,\dots, v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind. Für den Widerspruchsbeweis würde man jetzt annehmen, dass $\begin{eqnarray*} v_1,\dots,v_n \end{eqnarray*}$ nicht linear unabhängig sind und folgert daraus einen Widerspruch. Da kommt dir dann auch die Aussage aus i) zur Hilfe.

20.12.2014, 20:10

Shinobi.Master

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Würde bei dem Widerspruch nicht denn genau dieselbige Beweisführung ablaufen, wie bei (i)?

Könnte ich stattdessen nicht einfach sagen:

Da $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind gilt nur für $\begin{eqnarray*} k_1=...=k_n = 0 \end{eqnarray*}$ die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} k_1\cdot v_1 + k_2\cdot v_2 + ... + k_n\cdot v_n = 0<br /> <br /> \Rightarrow L(k_1\cdot v_1 + k_2\cdot v_2 + ... + k_n\cdot v_n) = L(0)<br /> <br /> = L(k_1\cdot v_1) + L(k_2\cdot v_2) + ... + L(k_n\cdot v_n) = L(0) \end{eqnarray*}$

Da immernoch $\begin{eqnarray*} k_1=...=k_n = 0 \end{eqnarray*}$ gilt, sind auch die Abbildungen $\begin{eqnarray*} L(v_1),...,L(v_n) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

20.12.2014, 20:31

Iorek

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Ja, die Argumentation wäre die gleiche. Du kannst sogar stattdessen einfach auf die Aussage i) verweisen.

Zu deinem Versuch: du gehst da jetzt von falschen Annahmen aus. Dass $\begin{eqnarray*} k_1=\dots=k_n=0 \end{eqnarray*}$ die einzige Lösung von $\begin{eqnarray*} k_1v_1+\dots k_nv_n=0 \end{eqnarray*}$ ist, ist zu zeigen.

(Eine weitere Alternative: die Aussagen $\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \neg B\Rightarrow \neg A \end{eqnarray*}$ sind logisch äquivalent. Fasst man die Aussage in i) nun als Folgerung $\begin{eqnarray*} A\Rightarrow B \end{eqnarray*}$ auf, so steht in ii) gerade $\begin{eqnarray*} \neg B\Rightarrow\neg A \end{eqnarray*}$ .)

21.12.2014, 00:02

Shinobi.Master

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Aber warum muss man noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} k_1=\dots=k_n=0 \end{eqnarray*}$ die einzige Lösung von $\begin{eqnarray*} k_1v_1+\dots +k_nv_n=0 \end{eqnarray*}$ ist?

Es wird doch vorausgesetzt, dass es sich nun um eine lineare Unabhängigkeit bei den Vektoren in der Abbildung handelt. Quasi das für $\begin{eqnarray*} L(k_1\cdot v_1) + L(k_2\cdot v_2) + ... + L(k_n\cdot v_n) = L(0) \end{eqnarray*}$ die einzige Lösung $\begin{eqnarray*} k_1=\dots=k_n=0 \end{eqnarray*}$ ist.

Und trotzdem muss ich das noch einmal für die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,\dots,v_n \end{eqnarray*}$ beweisen? Und vor allem wie beweise ich das? Ich weiß nur wie man das für Vektoren mit gegeben Werten ausrechnet...

21.12.2014, 00:13

Iorek

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Weil zu zeigen ist, dass die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,\dots,v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind. Das bedeutet ja gerade, dass $\begin{eqnarray*} k_1v_1+\dots k_nv_n=0 \end{eqnarray*}$ nur für $\begin{eqnarray*} k_1=\dots=k_n=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist.

Zu zeigen ist: sind die Vektoren $\begin{eqnarray*} L(v_1),\dots,L(v_n) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig, dann sind auch die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,\dots,v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig, d.h. $\begin{eqnarray*} k_1v_1+\dots k_nv_n=0 \end{eqnarray*}$ gilt nur für $\begin{eqnarray*} k_1=\dots=k_n=0 \end{eqnarray*}$ . Du weißt also nicht von vornherein, dass die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,\dots v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind und deshalb auch nicht sagen, dass die Gleichung nur für $\begin{eqnarray*} k_1=\dots k_n=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt ist.

21.12.2014, 00:17

Shinobi.Master

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Okay und wie kann ich das jetzt beweisen?

Ich gehe jetzt quasi rückwärts bis zu dem Schritt:

$\begin{eqnarray*} L(k_1\cdot v_1) + L(k_2\cdot v_2) + ... + L(k_n\cdot v_n) = 0<br /> <br /> = L(k_1\cdot v_1 + k_2\cdot v_2 + ... + k_n\cdot v_n) = 0<br /> <br /> \Rightarrow k_1\cdot v_1 + k_2\cdot v_2 + ... + k_n\cdot v_n = 0 \end{eqnarray*}$

Und wie mache ich dann weiter?

Wenn $\begin{eqnarray*} k_i \neq 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k_1,...,k_n \end{eqnarray*}$ damit die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} k_1\cdot v_1 + k_2\cdot v_2 + ... + k_n\cdot v_n = 0 \end{eqnarray*}$

gilt. Dann sind die Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ linear abhängig

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ Widerspruch zur Aussage?!?

21.12.2014, 00:34

Iorek

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Zitat:

Original von Shinobi.Master
$\begin{eqnarray*} L(k_1\cdot v_1 + k_2\cdot v_2 + ... + k_n\cdot v_n) = 0<br /> <br /> \color{red}\Rightarrow\color{black} k_1\cdot v_1 + k_2\cdot v_2 + ... + k_n\cdot v_n = 0 \end{eqnarray*}$

Genau diese Folgerung macht die Probleme, damit sagt du nur, dass die Gleichung für $\begin{eqnarray*} k_1=\dots k_n=0 \end{eqnarray*}$ richtig ist. Damit ist noch nicht gesagt, dass dies die einzige Lösung.

Und du willst keinen Widerspruch zur Aussage, sondern einen Widerspruch zur Annahme erzeugen bei einem Widerspruchsbeweis.

Angenommen es existieren $\begin{eqnarray*} k_1,\dots k_n\in K \end{eqnarray*}$ , wobei mindestens eins der $\begin{eqnarray*} k_i\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist mit $\begin{eqnarray*} k_1v_1+\dots k_nv_n=0 \end{eqnarray*}$ , dann folgt mit der in i) bewiesenen Aussage...

21.12.2014, 00:40

Shinobi.Master

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Zitat:

Original von Iorek

Angenommen es existieren $\begin{eqnarray*} k_1,\dots k_n\in K \end{eqnarray*}$ , wobei mindestens eins der $\begin{eqnarray*} k_i\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist mit $\begin{eqnarray*} k_1v_1+\dots k_nv_n=0 \end{eqnarray*}$ , dann folgt mit der in i) bewiesenen Aussage...

..., dass $\begin{eqnarray*} L(k_1\cdot v_1) + L(k_2\cdot v_2) + ... + L(k_n\cdot v_n) = 0 \end{eqnarray*}$ ebenfalls linear abhängig ist?

Und daraus folgt dann, dass $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sein müssen, damit die Aussage gilt?

21.12.2014, 00:53

Iorek

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Zitat:

Original von Shinobi.Master
..., dass $\begin{eqnarray*} L(k_1\cdot v_1) + L(k_2\cdot v_2) + ... + L(k_n\cdot v_n) = 0 \end{eqnarray*}$ ebenfalls linear abhängig ist?

Etwas ungenau ausgedrückt, damit gilt dann, dass die Vektoren $\begin{eqnarray*} L(v_1),\dots L(v_n) \end{eqnarray*}$ linear abhängig sind. Und damit haben wir einen Widerspruch erzeugt, schließlich setzen wir ja voraus, dass diese Vektoren linear unabhängig sind. Damit kann unsere Annahme nicht stimmen und $\begin{eqnarray*} v_1,\dots,v_n \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig.

21.12.2014, 04:08

Shinobi.Master

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Ahh verstehe. Sag ich doch so schwer ist das nicht... Ich komm immer nur nicht darauf...

So und nun zur letzten Teilaufgabe.

Ich denke, dass ich mir erst einmal im Gedächtnis rufen muss, was für Def. für Injektivität gelten.
Es heißt doch übersetzt quasi ein-eindeutig, also das zu jeden y-wert nur ein x-wert existieren darf:

$\begin{eqnarray*} x_1 \neq x_2 : f(x_1) = y_1, f(x_2) \neq y_1 \end{eqnarray*}$

Inwiefern hilft das mir mit der zu beweisenen Aussage b) weiter?

21.12.2014, 09:29

Iorek

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Formuliere zuerst einmal die zu beweisende Aussage. Es müssen hier zwei Richtungen gezeigt werden, wobei nur eine von diesen Richtungen für uns wirklich interessant ist. Und dann gibt es einen Zusammenhang zwischen injektiven linearen Abbildungen und dem Kern. Diesen solltest du ausnutzen.

21.12.2014, 15:02

Shinobi.Master

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Also die Aufgabe b) lautet:
--------------------------------------
Ist L injektiv, dann sind $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ genau dann linear unabhängig, wenn $\begin{eqnarray*} L(v_1),...,L(v_n) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.
--------------------------------------
Also die eine Richtung dürfte sein von $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \rightarrow L(v_1),...,L(v_n) \end{eqnarray*}$ und die andere Richtung ist dann von $\begin{eqnarray*} L(v_1),...,L(v_n) \rightarrow v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ , richtig?

Und der Zusammenhang zwischen linearen Abbildungen und dem Kern ist doch:
---------------------------------------------------------------------------
Definition für Kern von Vektorräumen (Wikipedia):
Ist $\begin{eqnarray*} L\colon V\to W \end{eqnarray*}$ eine lineare Abbildung von Vektorräumen dann heißt die Menge

$\begin{eqnarray*} \ker L := \{ v \in V \mid f(v) = 0 \in W\} \end{eqnarray*}$

der Kern von L. Er ist ein Untervektorraum von V.
---------------------------------------------------------------------------
Oder?

21.12.2014, 17:40

Iorek

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Welche der beiden Richtungen ist für uns denn nun interessant? Und welche Richtung können wir direkt abhaken?

Zum Kern: kannst du bei einer injektiven, linearen Abbildung noch etwas mehr darüber aussagen? Wie könnte man das in einem potentiellen Beweis einbringen?

21.12.2014, 20:01

Shinobi.Master

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Ich denke, da die lineare Unabhängigkeit von $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} L(v_1),...,L(v_n) \end{eqnarray*}$ abhängig ist, sollte $\begin{eqnarray*} L(v_1),...,L(v_n) \rightarrow v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ die Richtung sein, die uns interessiert.

Damit ist die andere Richtung $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \rightarrow L(v_1),...,L(v_n) \end{eqnarray*}$ , die wir auch schon oft genüg bewiesen haben, nicht weiter von belangen.

Desweiteren ist die lineare Abbildung genau dann injektiv, wenn Kern L gleich ein Nullvektor ist.

Denn für alle $\begin{eqnarray*} v, u \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} L(u)=L(v) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow L(u)-L(v)=Nullvektor<br /> <br /> \Rightarrow u-v \in Kern L<br /> <br /> \Rightarrow u=v \end{eqnarray*}$
also ist L injektiv.

Ist es das was uns weiterhilft?

21.12.2014, 20:06

Iorek

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RE: Vererbung lineare (Un-)Abhängikeit beweisen

Zitat:

Original von Shinobi.Master
(ii) Sind $\begin{eqnarray*} L(v_1),...,L(v_n) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig, dann sind auch $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig.

Bist du dir sicher, dass wir uns nicht doch mit der Richtung " $\begin{eqnarray*} v_1,\dots,v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow L(v_1),\dots,L(v_n) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig" beschäftigen sollen? unglücklich

unglücklich

Ja, eine lineare Abbildung ist genau dann injektiv, wenn im Kern nur der Nullvektor liegt. Dann versuch doch jetzt einmal mit diesen ganzen Bedingungen und Voraussetzungen die interessante Richtung zu beweisen.

21.12.2014, 20:44

Shinobi.Master

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Da L injektiv ist gilt für $\begin{eqnarray*} v, u \in V \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} L(u)=L(v) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow L(u)-L(v)=Nullvektor<br /> <br /> \Rightarrow u-v \in Kern L<br /> <br /> \Rightarrow u=v \end{eqnarray*}$

Angenommen $\begin{eqnarray*} v_1,\dots,v_n \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig, dann gilt:

$\begin{eqnarray*} k_1\cdot v_1 + k_2\cdot v_2 + ... + k_n\cdot v_n = 0 \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k_1=\dots = k_n=0 \end{eqnarray*}$

Daraus folgt, dass... Ich weiß nicht genau, wie ich jetzt Kern L mit der linearen Unabhängigkeit verbinden kann...

21.12.2014, 21:05

Iorek

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Welche Richtung willst du denn nun zeigen? Und was ist in dieser Richtung zu zeigen?

21.12.2014, 21:35

Shinobi.Master

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Also ich möchte von $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} L(v_1),...,L(v_n) \end{eqnarray*}$ gehen.

Und da zeige ich doch nichts anderes als wir bereits in a)(i) gemacht haben oder?

21.12.2014, 21:39

Iorek

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Dann lies dir doch bitte noch einmal durch:

was wir zeigen wollen,
was du in (i) gezeigt hast,
was du in (ii) gezeigt hast.

Und dann entscheide dich, welche Richtung wir uns wirklich angucken wollen, und welche wir bereits gezeigt haben. Dann formuliere diese Richtung einmal, d.h. schreibe genau auf, was du zeigen willst und versuche das dann in Verbindung mit unseren Voraussetzungen zu bringen.

21.12.2014, 22:26

Shinobi.Master

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Wir wollen zeigen, dass wenn L injektiv ist, dann sind $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ genau dann linear unabhängig, wenn $\begin{eqnarray*} L(v_1),...,L(v_n) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.

Sozusagen:
$\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow L(v_1),...,L(v_n) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig

In (i) haben wir bereits gezeigt, dass folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ linear abhängig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow L(v_1),...,L(v_n) \end{eqnarray*}$ linear abhängig

Und in (ii):

$\begin{eqnarray*} L(v_1),...,L(v_n) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig

D.h. wir schauen uns jetzt folgende Richtung an:

$\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow L(v_1),...,L(v_n) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig

Die im übrigen fast identisch ist mit (i).

Und das ganze jetzt in Verbindung mit unseren Voraussetzungen:

L ist injektiv und somit ist $\begin{eqnarray*} v-v* \in Kern L \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} v,v* \in V \end{eqnarray*}$

Aus $\begin{eqnarray*} k_1\cdot v_1 + k_2\cdot v_2 + ... + k_n\cdot v_n = 0 \end{eqnarray*}$ folgt dann:

$\begin{eqnarray*} L(k_1\cdot (v_1-v*_1) + k_2\cdot (v_2-v*_2) + ... + k_n\cdot (v_n-v*_n)) = Kern L(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow L(k_1\cdot (v_1-v*_1)) + L(k_2\cdot (v_2-v*_2)) + ... + L(k_n\cdot (v_n-v*_n)) = Kern L(0) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow k_1\cdot (w_1-w*_1) + k_2\cdot (w_2-w*_2) + ... + k_n\cdot (w_n-w*_n) = Nullvektor \end{eqnarray*}$

Oder ist das wieder völlig falsch Verknüpft?

21.12.2014, 22:49

Iorek

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Zitat:

Original von Shinobi.Master
Wir wollen zeigen, dass wenn L injektiv ist, dann sind $\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ genau dann linear unabhängig, wenn $\begin{eqnarray*} L(v_1),...,L(v_n) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.

Sozusagen:
$\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig $\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow L(v_1),...,L(v_n) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig

In (i) haben wir bereits gezeigt, dass folgendes gilt:

$\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ linear abhängig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow L(v_1),...,L(v_n) \end{eqnarray*}$ linear abhängig

Und in (ii):

$\begin{eqnarray*} L(v_1),...,L(v_n) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig

D.h. wir schauen uns jetzt folgende Richtung an:

$\begin{eqnarray*} v_1,...,v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig $\begin{eqnarray*} \Rightarrow L(v_1),...,L(v_n) \end{eqnarray*}$ linear unabhängig

Bis hier würde ich dir zustimmen, allerdings ist das nicht unbedingt identisch mit (i); schließlich geht es jetzt nicht um linear abhängige sondern um linear unabhängige Vektoren. Im weiteren Verlauf weiß ich dann nicht, was du mit dem Kern aussagen willst...

Seien $\begin{eqnarray*} v_1,\dots,v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig. Wir wollen zeigen: $\begin{eqnarray*} L(v_1),\dots, L(v_n) \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig, d.h. $\begin{eqnarray*} k_1\cdot L(v_1)+\dots k_n\cdot L(v_n)=0 \end{eqnarray*}$ ist nur für $\begin{eqnarray*} k_1=\dots=k_n=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Seien also $\begin{eqnarray*} k_1,\dots, k_n\in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k_1\cdot L(v_1)+\dots k_n\cdot L(v_n)=0 \end{eqnarray*}$ , dann gilt...

Du willst hier jetzt irgendwie folgern, dass $\begin{eqnarray*} k_1=\dots=k_n=0 \end{eqnarray*}$ ist.

21.12.2014, 23:01

Shinobi.Master

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Zitat:

Original von Iorek

Seien $\begin{eqnarray*} v_1,\dots,v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig. Wir wollen zeigen: $\begin{eqnarray*} L(v_1),\dots, L(v_n) \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig, d.h. $\begin{eqnarray*} k_1\cdot L(v_1)+\dots k_n\cdot L(v_n)=0 \end{eqnarray*}$ ist nur für $\begin{eqnarray*} k_1=\dots=k_n=0 \end{eqnarray*}$ erfüllt.

Seien also $\begin{eqnarray*} k_1,\dots, k_n\in K \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} k_1\cdot L(v_1)+\dots k_n\cdot L(v_n)=0 \end{eqnarray*}$ , dann gilt...

... folgendes:
$\begin{eqnarray*} k_1\cdot L(v_1)+\dots k_n\cdot L(v_n)=0<br /> <br /> = L(k_1\cdot v_1+...+ k_n\cdot v_n)=0<br /> <br /> \Rightarrow k_1\cdot v_1+...+ k_n\cdot v_n=0 \end{eqnarray*}$

Da laut Annahme $\begin{eqnarray*} v_1,\dots,v_n \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind muss ebenfalls für die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} k_1\cdot v_1+...+ k_n\cdot v_n=0 \end{eqnarray*}$ alle $\begin{eqnarray*} k_1,\dots, k_n\in K \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k_1=\dots=k_n=0 \end{eqnarray*}$ sein.

21.12.2014, 23:05

Iorek

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Wenn du die Folgerungspfeile noch mit einer kurzen Begründung versiehst, wäre der Beweis fertig. smile

smile

21.12.2014, 23:13

Shinobi.Master

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Sehr schön.

Es existiert nur ein Folgerungspfeil, nämlich hier:

$\begin{eqnarray*} L(k_1\cdot v_1+...+ k_n\cdot v_n)=0<br /> <br /> \Rightarrow k_1\cdot v_1+...+ k_n\cdot v_n=0 \end{eqnarray*}$

Die Begründung dafür wäre:

Das Urbild von $\begin{eqnarray*} L(v) \end{eqnarray*}$ ist v bzw. die Umkehrfunktion $\begin{eqnarray*} L^{-1} \end{eqnarray*}$ wurde an dieser Stelle angewandt. Auf der linken Seite vom Gleichheitszeichen fällt dann das L weg, da $\begin{eqnarray*} L(v)\cdot L^{-1}(v) = v \end{eqnarray*}$ ist und auf der rechten Seite vom Gleichheitszeichen passiert nichts weltbewegendes. $\begin{eqnarray*} L(0)\cdot L^{-1}(0) = 0 \end{eqnarray*}$

21.12.2014, 23:15

Iorek

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Warum sollte die Umkehrfunktion denn existieren? Die Abbildung ist nicht bijektiv sondern nur injektiv (und die Injektivität benötigst du auch hier).

21.12.2014, 23:21

Shinobi.Master

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Verdammt stimmt... Ein Inverses existiert nur bei einer bijektiven Abbildung...

Wie kann ich es dann begründen?

Hilft mir das dafür:

$\begin{eqnarray*} \ker L := \{ v \in V \mid L(v) = 0 \in W\} \end{eqnarray*}$

21.12.2014, 23:28

Iorek

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Ja, den Kern wirst du betrachten müssen. Und die Begründung hattest du auch schon einmal genannt (Zusammenhang Kern/injektiv).

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