Abstand Punkte und Arcuscoth(x)

20.12.2014, 07:38

Cl3audia

Abstand Punkte und Arcuscoth(x)

Meine Frage:
Ich wünsche allen einen guten Morgen!

Zuerst soll ich den Abstand zwischen je zwei der nachfolgenden Punkte berechnen:

$\begin{eqnarray*} 1+i, \bar{j},0,\bar{-5},-2+3i \end{eqnarray*}$

Außerdem soll ich zeigen, dass für alle $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} |x| > 1 \end{eqnarray*}$ gilt:

$\begin{eqnarray*} arcoth (x) = \frac12 \ln \left(\frac{x+1}{x-1}\right) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Der Abstand ist doch die euklidische Distanz sprich, wenn wir den Betrag haben: $\begin{eqnarray*} |z| = \sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$ einer komplexen Zahl, dann ist der Abstand zwischen den Punkten $\begin{eqnarray*} z = c+id \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} w = a+ib \end{eqnarray*}$ entsprechend $\begin{eqnarray*} |z-w| = \sqrt{(c-a)^2+(d-b)^2} \end{eqnarray*}$
Ist das so richtig?

Bei der anderen Aufgabe fehlt mir jegliche Idee unglücklich

ich würde liebendgerne was Hilfreiches dazu äußern, aber ich weiß wirklich nicht was unglücklich

Bedanke mich schon mal!

Claudia

20.12.2014, 09:31

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RE: Abstand Punkte und Arcuscoth(x)
Sollen die beiden Fragen etwas miteinander zu tun haben? verwirrt

Bei der Abstandsfrage liegst du richtig.

Zur zweiten Frage: Areacotangenhyperpolicus hat die Umkehrfunktion Cosinushyperbolicus.

Edit: Es ist natürlich der Cotangenshyperbolicus, nicht der Cosinushyperbolicus

20.12.2014, 09:59

Cl3audia

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RE: Abstand Punkte und Arcuscoth(x)

Zitat:

Original von URL
Sollen die beiden Fragen etwas miteinander zu tun haben? verwirrt

Bei der Abstandsfrage liegst du richtig.

Ich wollte nur sichergehen, dass ich's verstanden habe.

Zitat:

Original von URL
Zur zweiten Frage: Areacotangenhyperpolicus hat die Umkehrfunktion Cosinushyperbolicus.

Area? Ich dachte Arcus hö verwirrt

Nun gut. Ich weiß leider mit dem Hinweis nicht wie ich weitermachen soll. Soll ich etwa nach x auflösen? Dann ist im Argument des LN's auch noch x drin. Das bekomme ich nicht heraus weil ich ja jede Umformung auf beiden Seiten machen muss.

Danke! Claudia

20.12.2014, 10:11

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RE: Abstand Punkte und Arcuscoth(x)
Du hast eine Funktion f, hier den Areacotangenhyperpolicus, und eine dazu gehörige Umkehrfunktion g, das ist hier übrigens der Cotangenshyperbolicus, nicht wie ich schrieb der Cosinushyperbolicus.

Dann gilt eine Gleichung $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn die Gleichung $\begin{eqnarray*} g(f(x)=g(y) \end{eqnarray*}$ gilt.

20.12.2014, 10:15

Leopold

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RE: Abstand Punkte und Arcuscoth(x)
URL hat sich vertan:

Zitat:

Original von URL
Areacotangenhyperpolicus hat die Umkehrfunktion Cosinushyperbolicus.

Richtig ist area cotangens hyperbolicus hat die Umkehrfunktion cotangens hyperbolicus.
Der Vorsatz arcus wird im deutschen Sprachraum nur für die Umkehrungen der trigonometrischen Funktionen verwendet. Was auch Sinn macht: denn arcus heißt Bogen. Allerdings bürgert sich die aus dem Angelsächsischen stammende Unsitte, auch bei den Umkehrungen der hyperbolischen Funktionen arcus statt area zu sagen, auch bei uns immer mehr ein.

Jetzt zur Aufgabe. Es gilt

$\begin{align*} y = \coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{\operatorname{e}^x + \operatorname{e}^{-x}}{\operatorname{e}^x - \operatorname{e}^{-x}} \end{align*}$

Löse diese Gleichung nach $\begin{align*} x \end{align*}$ auf. Dann erhältst du das Gewünschte.

20.12.2014, 10:17

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RE: Abstand Punkte und Arcuscoth(x)
Oder, und das ist mein Vorschlag, du wendest den Cotangenshyperbolicus auf beide Seiten deiner Gleichung an.
@Leopold: Ja, hatte es schon gesehen. Danke.

20.12.2014, 10:23

Cl3audia

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RE: Abstand Punkte und Arcuscoth(x)

Zitat:

Original von URL
Dann gilt eine Gleichung $\begin{eqnarray*} f(x)=y \end{eqnarray*}$ genau dann, wenn die Gleichung $\begin{eqnarray*} g(f(x)=g(y) \end{eqnarray*}$ gilt.

Okay das sagt mir jetzt nicht viel außer, dass halt diese Beziehung zwischen Funktion und Umkehrfunktion gilt. Ich könnte aber die Definition des arcoth(x) mit den e-Funktionen benutzen?

Claudia

20.12.2014, 10:29

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RE: Abstand Punkte und Arcuscoth(x)
Der coth ist durch e-Funktionen definiert, ganz so wie Leopold geschrieben hat.
Du kannst jetzt seinen Weg nehmen

Zitat:

Löse diese Gleichung nach x auf. Dann erhältst du das Gewünschte.

oder meinen

Zitat:

du wendest den Cotangenshyperbolicus auf beide Seiten deiner Gleichung an

20.12.2014, 10:53

Cl3audia

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RE: Abstand Punkte und Arcuscoth(x)

Zitat:

Original von Leopold
Jetzt zur Aufgabe. Es gilt

$\begin{align*} y = \coth x = \frac{\cosh x}{\sinh x} = \frac{\operatorname{e}^x + \operatorname{e}^{-x}}{\operatorname{e}^x - \operatorname{e}^{-x}} \end{align*}$

Löse diese Gleichung nach $\begin{align*} x \end{align*}$ auf. Dann erhältst du das Gewünschte.

Aber wieso diese Gleichung nach x? Es ist doch der area cotangens hyperbolicus gleich dem 1/2 LN usw. Ach gemeint ist dann wohl wenn ich nach x umforme dann habe ich die Umkehrfunktion?

$\begin{align*} y = \frac{\operatorname{e}^x + \operatorname{e}^{-x}}{\operatorname{e}^x - \operatorname{e}^{-x}} = \frac{\operatorname{e}^x + \operatorname{e}^{-x} -\operatorname{e}^{-x}+\operatorname{e}^{-x}}{\operatorname{e}^x - \operatorname{e}^{-x}} = \frac{\operatorname{e}^x - \operatorname{e}^{-x} +2 \operatorname{e}^{-x}}{\operatorname{e}^x - \operatorname{e}^{-x}} = 1+ \frac{2 \operatorname{e}^{-x}}{\operatorname{e}^x - \operatorname{e}^{-x}} = 1+ \frac{2 }{\operatorname{e}^{x} \cdot (\operatorname{e}^x - \operatorname{e}^{-x})} = 1+ \frac{2 }{\operatorname{e}^{2x} -1} \end{align*}$
Öhm öhm nicht dass ich mich vergaloppiere, ich muss nach x auflösen. Bis hier hin stimmt es doch?

Claudia

20.12.2014, 11:00

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RE: Abstand Punkte und Arcuscoth(x)
Richtig, auf dem Weg bestimmst du die Umkehrfunktion selbst. Auf meinem Weg hättest du nur nachgerechnet, dass sie es ist. Und bisher stimmt es noch Freude

20.12.2014, 11:16

Cl3audia

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RE: Abstand Punkte und Arcuscoth(x)

Zitat:

Original von URL
Auf meinem Weg hättest du nur nachgerechnet, dass sie es ist. Und bisher stimmt es noch Freude

Ja dein Weg war mir nicht ganz klar, daher wollte ich zuerst den anderen Einschlagen.

$\begin{align*} y = 1+ \frac{2 }{\operatorname{e}^{2x} -1} \end{align*}$
$\begin{align*} y -1=\frac{2 }{\operatorname{e}^{2x} -1} \end{align*}$
$\begin{align*} \frac{y -1}{2}=\frac{1}{\operatorname{e}^{2x} -1} \end{align*}$
$\begin{align*} \frac{2}{y-1}=\operatorname{e}^{2x} -1 \end{align*}$ für y ungleich 1
$\begin{align*} \frac{2}{y-1}+1=\operatorname{e}^{2x} \end{align*}$
$\begin{align*} \ln \left(\frac{2}{y-1}+1\right)=2x \end{align*}$
$\begin{align*} x = \frac{\ln \left(\frac{2}{y-1}+1\right)}{2} \end{align*}$

Das muss doch so in Ordnung sein? Und jetzt gleichsetzen mit dem anderen LN?

Claudia

20.12.2014, 11:23

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RE: Abstand Punkte und Arcuscoth(x)
Schreib mal das Argument des ln als einen Bruch.

20.12.2014, 11:55

Cl3audia

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RE: Abstand Punkte und Arcuscoth(x)
$\begin{align*} x = \frac{\ln \left(\frac{2}{y-1}+1\right)}{2} = \frac{\ln \left(\frac{y+1}{y-1}\right)}{2} \end{align*}$

Claudia

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