Stetigkeit / Folgenkriterium

20.12.2014, 12:35

Rynos

Stetigkeit / Folgenkriterium

Heyho,
ich stehe gerade vor einer Aufgabe, aber irgendwie übersehe ich etwas, oder mache eine falsche folgerung:
Zu zeigen ist: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{(1+\frac{y}{n})^n}=e^y \end{eqnarray*}$

Mein Vorgehen:
Ich nehme die Funktion $\begin{eqnarray*} f(\frac{y}{n}) = e^{log{((1+\frac{y}{n})^n)}} \end{eqnarray*}$
Das "zu zeigen" ist doch eigentlich nichts anderes, als die Aussage, dass diese Funktion stetig in 0 ist.
Dann müsste ich ja nurnoch das Folgekriterium für die Folge $\begin{eqnarray*} x_n := \frac{y}{n} \end{eqnarray*}$ zeigen, also:
Aus $\begin{eqnarray*} x_n \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ sollte $\begin{eqnarray*} f(x_n) \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ folgen, damit das Folgekrit. stimmt, aber bei mir sieht das dann so aus:

$\begin{eqnarray*} e^{log{((1+\frac{y}{n})^n)}} \rightarrow e^{log{(1^n)}} = e^{log{(1)}} = e^0 = 1 \end{eqnarray*}$

Da sollte doch eigentlich 0 rauskommen^^

Kann mir jemand sagen, wo mein Denkfehler ist? Ich sehe es einfach nicht...

LG Rynos

20.12.2014, 13:54

bijektion

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Ja, das Problem ist, das $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} (1+x_n)^n \neq 1 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n:=\frac{c}{n} \end{eqnarray*}$ .

Es gilt keinesfalls $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty}(1+\frac{c}{n})^n = \lim_{k\to\infty} (\lim_{n\to\infty} 1+\frac{c}{n} )^k \end{eqnarray*}$ .

Außerdem glaube ich nicht, das dieser Weg führ dich legitim ist, habt ihr den $\begin{eqnarray*} \log \end{eqnarray*}$ überhgaupt schon eingeführt?

20.12.2014, 14:21

Rynos

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Den Logarithmus haben wir schon eingeführt ja (wir haben zuerst exp und log eingeführt und sind damit auf sin und cos usw. gekommen, meistens macht man es ja umgekehrt).

Ich muss vielleicht noch sagen, dass unser Tutor uns den Tipp gegeben hat, dass man $\begin{eqnarray*} (1+\frac{y}{n})^n \end{eqnarray*}$ umschreiben kann durch $\begin{eqnarray*} e^{log(1+\frac{y}{n})^n} \end{eqnarray*}$ .
Er hat auch gesagt, dass wir es nicht mit dem binomischen Lehrsatz schreiben sollen, da wir sonst sehr ausführlich begründen müssten warum man die Terme im lim auf der linken seite mit den Termen auf der rechten Seite vergleichen kann usw.
Es ist also glaube ich schon so gedacht, dass wir es auf diese Weise machen.

20.12.2014, 15:05

bijektion

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Ok, dann geht es nur noch um die Berechnung von $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} (1+\frac{y}{n})^n \end{eqnarray*}$ .
Zuerst kannst du hier $\begin{eqnarray*} a\cdot \log b = \log b^a \end{eqnarray*}$ nutzen.

20.12.2014, 15:42

Rynos

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aber das nützt mir doch nichts, dann steht halt $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} e^{n \cdot log(1+\frac{y}{n})} \end{eqnarray*}$ da, aber das hilft mir auch nicht sehr weiter, denn da kommt immernoch 1 raus...

20.12.2014, 15:50

DrMath

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Vielleicht ist die folgende Reihenentwicklung hilfreich:

$\begin{eqnarray*} \ln(1+x) = x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{4}+\dots \end{eqnarray*}$

20.12.2014, 16:27

Rynos

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ich versteh nicht ganz was du meinst, so wie ich das sehe, ist das ja nicht korrekt was du hingeschrieben hast, also da muss auf jeden fall ein summenzeichen hin, aber selbst dann sehe ich nicht wie das stimmen könnte^^
kannst du das nochmal bitte richtig hinschreiben, so wie du es gemeint hast?

20.12.2014, 16:56

DrMath

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Ok:

$\begin{eqnarray*} \ln(1+x)=\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{(n-1)}\frac{x^n}{n} \end{eqnarray*}$

Die andere Darstellung fand ich allerdings übersichtlicher.
Wikipedia liefert die gleiche Reihenentwicklung.

z.B. ln(1+ü)=ü+ü+ü+ü ... = 0

Die andere Frage ist, ob man diese Reihenentwicklung für die Aufgabe benutzen soll/darf. Im Endeffekt kann man sicher jedes lauf Vorlesung bekannte Verfahren anwenden, welches den Grenzwert der Folge $\begin{eqnarray*} n\cdot\log{(1+y/n)} \end{eqnarray*}$ liefert.

21.12.2014, 13:55

Rynos

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ich sehe worauf du hinaus willst, nur leider haben wir diese Potenzreihe so noch nicht definiert, also nein, wir dürfen diese wahrscheinlich nicht benutzen.

Ich würde es gerne so machen wie ich es beschrieben hab: Ich übersetze die Aussage, dass eine Funktion $\begin{eqnarray*} f(\frac{y}{n}) = e^{log{((1+\frac{y}{n})^n)}} \end{eqnarray*}$ in 0 stetig ist und wende das Folgenkrit. für die Folge $\begin{eqnarray*} x_n := \frac{y}{n} \end{eqnarray*}$ an.
Soweit ich das gehört hab, haben das auch meine Kommilitonen so gemacht (nur sind wir alle jetzt vor der Weihnachtszeit nicht wirklich erreichbar, diesbezgl.). Es muss also gehen, nur funktioniert das bei mir irgendwie nicht - also, wo liegt mein Fehler? Hab ich die Funktion falsch definiert, oder hab ich die Anwendung des Folgenkrit. falsch gemacht?

21.12.2014, 16:25

Rynos

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Ich glaube ich habe mein Fehler gefunden, bin mir aber nicht sicher, also wenn das jemand bestätigen kann, wäre das gut! Augenzwinkern

Und zwar beim Folgenkrit.:
Ich habe folgendes gesagt:

Zitat:

Original von Rynos
[...]
Aus $\begin{eqnarray*} x_n \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ sollte $\begin{eqnarray*} f(x_n) \rightarrow 0 \end{eqnarray*}$ folgen
[...]

Aber es müsste eigentlich so sein:

"Aus $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} x_n = 0 \end{eqnarray*}$ sollte $\begin{eqnarray*} \lim_{n\to\infty} f(x_n) = f(0) \end{eqnarray*}$ folgen"
Quelle: Da ich keine Links posten darf: Google "folgenkriterium anwenden" eingeben und den 5. Beitrag anklicken (und zu "Satz (Folgenkriterium)" runterscrollen)

Oder ist diese Def. des Folgenkrits falsch?

Bitte gebt mir Rückmeldung ob ich richtig liege!

21.12.2014, 18:35

DrMath

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Ich verstehe ehrlich gesagt nicht, wieso aus der Stetigkeit in 0 die Behauptung folgt. Über den Wert der Grenzwerts der Klammer mit Exponent n für beliebige y ist damit doch noch gar nichts bekannt.

21.12.2014, 19:34

Nofeykx

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Mal ganz davon abgesehen, ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ überhaupt keine wohldefinierte Funktion.

Eine Funktion muss jedem Element eines Definitionsbereichs ein eindeutiges Element des Wertebereichs zuordnen. Wie genau soll deine Funktion das tun? Also was ist zum Beispiel $\begin{eqnarray*} f(2) \end{eqnarray*}$ ? Ist das $\begin{eqnarray*} f(\frac{2}{1}) \end{eqnarray*}$ oder doch eher $\begin{eqnarray*} f(\frac{4}{2}) \end{eqnarray*}$ oder noch was anderes ?

21.12.2014, 23:31

Rynos

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Zitat:

Original von DrMath
Ich verstehe ehrlich gesagt nicht, wieso aus der Stetigkeit in 0 die Behauptung folgt. Über den Wert der Grenzwerts der Klammer mit Exponent n für beliebige y ist damit doch noch gar nichts bekannt.

Das haben wir in der Vorlesung mal gemacht, wie das aussieht will ich jetzt hier nicht auch noch schreiben^^

Zitat:

Original von Nofeykx
Mal ganz davon abgesehen, ist $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ überhaupt keine wohldefinierte Funktion.

Eine Funktion muss jedem Element eines Definitionsbereichs ein eindeutiges Element des Wertebereichs zuordnen. Wie genau soll deine Funktion das tun? Also was ist zum Beispiel $\begin{eqnarray*} f(2) \end{eqnarray*}$ ? Ist das $\begin{eqnarray*} f(\frac{2}{1}) \end{eqnarray*}$ oder doch eher $\begin{eqnarray*} f(\frac{4}{2}) \end{eqnarray*}$ oder noch was anderes ?

$\begin{eqnarray*} f(2) = f(\frac{2}{1}) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow y=2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow f(2) = e^{log{((1+\frac{2}{1})^1)}} = (1+\frac{2}{1})^1 = 1+\frac{2}{1} = 1+2 = 3 \end{eqnarray*}$
Verstehe gerade nicht wo das Problem der Wohldefiniertheit liegt^^

Nunj, jedenfalls habe ich jetzt noch einen anderen Weg gefunden:
Ersteinmal habe ich ein $\begin{eqnarray*} x := \frac{y}{n} \end{eqnarray*}$ definiert. $\begin{eqnarray*} \Rightarrow n = \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{(1+x)^{\frac{y}{x}}}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{e^{log{{(1+x)^{\frac{y}{x}}}}}}=\lim\limits_{n \rightarrow \infty}{e^{y\cdot\frac{log{(1+x)}}{x}}} \end{eqnarray*}$

Dann habe ich seperat gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x \rightarrow 0}{\frac{log{(1+x)}}{x}}=1 \end{eqnarray*}$ gilt.
und wenn n gegen unendlich geht, dann geht ja x gegen 0 (da $\begin{eqnarray*} x = \frac{y}{n} \end{eqnarray*}$ )
und somit ist das ganze nur noch $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n \rightarrow \infty}{e^y} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} {e^y} \end{eqnarray*}$

21.12.2014, 23:34

Nofeykx

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Du hast leider meinen Post nicht richtig gelesen.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} f(2) = f(\frac{2}{1}) \end{eqnarray*}$

Und woher nimmst du das ? Warum ist nicht $\begin{eqnarray*} f(2) = f(4/2) = e^{\log(1+\frac{4}{2})^2} = e^{\log(9)} = 9 \neq 3 \end{eqnarray*}$

21.12.2014, 23:58

Rynos

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Ah okay, tut mir leid, jetzt sehe ich das Problem, da hast du recht, da müsste ich wieder ein x definieren, wobei ich dann wieder das Problem hab, dass entwedder y oder n noch im Term steht, das kommt dann wieder näher an die Lösung, die ich jetzt gerade habe...

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