Grenzwert der Folge (1+(2/n)^n) ohne Induktion

20.12.2014, 15:48

MatheTobi94

Grenzwert der Folge (1+(2/n)^n) ohne Induktion

Hallo, ich bin auf der Suche nach der Folge (1+(2/n)^n). Ich habe bereits im Internet gesucht und weiß, dass es sich um e² handelt, aber alle Lösungswege werden mit Hilfe der vollständigen Induktion gelöst, aber die wird in meinen Mathevorlesungen nicht behandelt. Vorausgesetzt wird, dass wir wissen, dass (1+(1/n))^n = e gilt, ohne Beweis. Ein Lösungsansatz wäre, den binomischen Lehrsatz zu verwenden, aber den Grenzwert bekommt man da durch Handrechnung auch nicht raus. Lässt sich die gegebene Folge irgendwie umstellen, sodass die Lösung ersichtlich wird? Sowas wie lim von a * lim von b = e*e = e².

Vielen Dank schonmal und liebe Grüße

20.12.2014, 16:02

Che Netzer

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RE: Grenzwert der Folge (1+(2/n)^n) ohne Induktion

Zitat:

Original von MatheTobi94
Hallo, ich bin auf der Suche nach der Folge (1+(2/n)^n). Ich habe bereits im Internet gesucht und weiß, dass es sich um e² handelt

Geht es denn tatsächlich um $\begin{eqnarray*} \left(1+\left(\frac2n\right)^n\right)=1+\left(\frac2n\right)^n \end{eqnarray*}$ oder um $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac2n\right)^n \end{eqnarray*}$ ?

20.12.2014, 16:03

DrMath

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Vorschlag: Ersetzung von $\begin{eqnarray*} n->\frac{m}{2} \end{eqnarray*}$ in der zur Benutzung freigegebenen Formel und ein wenig darüber meditieren. ;-)

20.12.2014, 16:09

MatheTobi94

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Die Klamer wollte ich nicht umsonst setzten smile

Du hast natürlich Recht, dass es (1+(2/n))^n heißen muss ;-)

Also ich soll den Grenzwert ermitteln und muss nichts zeigen. Trotzdem habe ich das Pferd mal von hinten aufgezäumt und die Reihe von e quadriert. Das Ergebnis ist 1² + 2/n + 1/n². Hieraus folgert man dann anscheinend 1 + 2/n, aber wieso? 1 + 2/n ist doch nicht 1 + 2/n + 1/n².

Danke smile

20.12.2014, 16:36

DrMath

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Also so:

$\begin{eqnarray*} e^2 = \lim_{n\rightarrow \infty} ((1+1/n)^n \cdot (1+1/n)^n )= \lim_{n\rightarrow \infty} (1+2/n+1/n^2)^{2n} \end{eqnarray*}$ verwirrt

Finde ich jetzt erstmal nicht so offensichtlich, dass sich das einfach in deine Formel umformen lässt.

Meiner Meinung nach einfacher:

$\begin{eqnarray*} e = \lim_{n\rightarrow \infty} ((1+1/n)^n = \lim_{m\rightarrow \infty} (1+2/m)^{m/2} \end{eqnarray*}$ .

Dabei wurde im zweiten Schritt $\begin{eqnarray*} n=m/2 \end{eqnarray*}$ gesetzt. Mit dieser Formel kann man nun (unter Berücksichtigung der Regeln für den Limes) wunderbar quadrieren. smile

20.12.2014, 19:03

MatheTobi94

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Ich merke mir einfach, dass der Zähler im Nenner der Basis gleich dem Exponenten von e ist. Ist zwar völlig gegen meine Grundsätze, aber ich verstehe das wirklich überhaupt nicht.

20.12.2014, 19:58

DrMath

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Woran hakt es denn?

Alternativ kannst du auch die von dir bereits angegebene Folge als Vergleichsfolge betrachten:

$\begin{eqnarray*} e^2=\lim_{n\rightarrow \infty} (1+1/n)^n \cdot \lim_{n\rightarrow\infty}(1+1/n)^n = \lim_{n\rightarrow \infty} (1+2/n+1/n^2)^n \end{eqnarray*}$

(Sorry, hatte mich oben mit dem Exponenten verrechnet.)

Nun gilt:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{(1+2/n)^n}{(1+2/n+1/n^2)^n}=\dots=1 \end{eqnarray*}$ , außerdem konvergiert die Folge im Nenner, daher streben die beiden Folgen gegen den gleichen Grenzwert, nämlich $\begin{eqnarray*} e^2 \end{eqnarray*}$ .

20.12.2014, 20:35

MatheTobi94

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Ich verstehe schon nicht, wieso du den Kehrwert als Exponenten benutzt, wenn du 1/n durch 1/M ersetzt. Außerdem verstehe ich nicht, warum du die Variable des Zählers variabel machst. Wieso passiert das nicht im Nenner? Letztendlch kommt man doch von dem auf den Exponenten.
Und wieso gilt die Formel 1 + 2/n = 1 + 2/n + 1/n². Genauso wie 1/n² gegen Null konvergiert, tut es das doch auch 2/n, wenn auch viel langsamer.

20.12.2014, 20:52

MatheTobi94

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Mein Problem ist auch, dass ich das Gefühl habe, von der Ersuchten Lösung den Weg zu ihr zu finden. Ich möchte aber über den Lösungsweg zum Ergebnis und finde keine schlaue Möglichkeit von (1+(2/n))^n auf e² zu kommen.

20.12.2014, 20:56

DrMath

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Hi,

ich nehme den (ohne Beweis) gegebenen Ausdruck und ersetze n durch m/2. Das mache ich nur deshalb, weil sich dann praktischerweise eine dem gesuchten Ausdruck $\begin{eqnarray*} (1+2/n)^n \end{eqnarray*}$ sehr ähnliche Folge ergibt. Eine bloße Umbenennung der Variablen ändert den Grenzwert ja nicht. Dadurch wird $\begin{eqnarray*} (1+1/n) \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} (1+1/\frac{m}{2}) = (1+\frac{2}{m}) \end{eqnarray*}$ , und der Grenzwert ist nach wie vor e. Der Exponent der Klammer ändert sich dann natürlich auch von n zu m/2. Der sich so ergebende Ausdruck

$\begin{eqnarray*} (1+2/m)^{m/2} = \sqrt{(1+2/m)^m} \end{eqnarray*}$ ist dann (bis auf den beliebigen Namen des Indexes n oder m) die Wurzel des gesuchten Ausdrucks und besitzt nach wie vor den Grenzwert e, da ja immer noch nichts anderes als eine Umbenennung des Indizes n durchgeführt wurde. Natürlich muss man dabei noch die Rechenregeln der Grenzwertbildung (sowas wie $\begin{eqnarray*} \lim_{n \rightarrow n_0} (\sqrt{a_n})=\sqrt{a} \end{eqnarray*}$ beachten, dabei ergeben sich aber keine weiteren Schwierigkeiten. Man kann also im Wesentlichen quadrieren und ablesen, dass der gesuchte Grenzwert $\begin{eqnarray*} e^2 \end{eqnarray*}$ sein muss.

20.12.2014, 21:05

DrMath

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Der limes mit der Wurzel sollte natürlich gegen unendlich gehen. smile

Die Gleichheit 1 + 2/n = 1 + 2/n + 1/n² gilt nur im Grenzfall, und man darf den Exponenten n nicht vergessen. Im Wesentlichen gibt es hier zwei konkurrierende Prozesse: Der Exponent n macht die Klammer größer und die 1/n, 1/n²-Terme machen sie kleiner. Wer dabei gewinnt ist (jedenfalls ohne weitere Betrachtung) nicht sofort klar.

20.12.2014, 21:19

MatheTobi94

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Wow. Jetzt leuchtet m/2 sowas von ein smile

Ich muss das zwar nicht können, aber das trifft schon ziemlich das Ego, wenn man solche einfachen Umformungsschritte nicht sieht. Kann man das irgendwie schulen? Vielen Dank für deine Geduld und Mühe, jetzt tappe ich endlich nicht mehr im dunkeln, DrMath

20.12.2014, 21:33

DrMath

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Ich meine mich zu erinnern, dass die Übungsaufgaben im Buch von Konrad Königsberger (Analysis I) häufig einen solchen Touch hatten. Allerdings ist der Anspruch dort meiner Meinung nach nicht gerade niedrig. Aber wenn man sich durchbeißt oder wenigstens die eine oder andere Aufgabe rechnet, ist man für Vieles was danach kommt gewappnet. Augenzwinkern

Vielleicht können andere Besucher dieses Threads noch weitere Bücher, Skripte oder Videos Augenzwinkern

empfehlen.

Keine Ursache. smile

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