Ljapunov - Frage zur Definiton / dem Kriterium

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Ljapunov - Frage zur Definiton / dem Kriterium
Meine Frage:
Hallo,

eine kurze Frage, die wahrscheinlich recht schnell geklärt werden. Es geht um die Ljapunov Funktion, die ja u.a. dazu dient, die Stabilität von Ruhelagen / kritischen Punkten / stationären Punkten von autonomen Differentialgleichungen zu treffen.

Folgendes gilt doch:

Die Ljapunov-Funktion V(x,y) muss folgende Bedingungen erfüllen, wenn (0,0) eine isolierte Ruhelage einer autonomen Differentialgleichung ist:

i) V(0,0) = 0 und V(x,y) > 0 für alle (x,y) <> (0,0)
ii) grad(V(x,y,)) * f(x,y) =< 0 für alle (x,y) <> (0,0)

Wenn dies gilt, ist die entsprechende Ruhelage (0,0) stabil, wenn bei ii) gilt <0 sogar asymptotisch stabil. Es heißt weiter, andere Ruhelagen können dann auf diesen Fall zurückgeführt werden.

Ich habe ein paar Beispielrechnungen von autonomen DGL durchgerechnet. Bei diesen autonomen DGL war allerdings immer der Fall, dass die einzige Ruhelage der Punkt (0,0) war. Was mache ich denn, wenn die autonome DGL z.B. die Ruhelage (10,-10) hat? Muss ich dann die Bedingungen i) und ii) der Ljapunov Funktion dahin gehend prüfen, dass

i) V(10,-10) = 0 und V(x,y) > 0 für alle (x,y) <> (10,-10)
ii) grad(V(x,y)) * f(x,y) =< 0 für alle (x,y,) <> (10,-10)

oder prüfe ich weiterhin immer noch die zuerst angegebene Definition? Wenn ich nämlich nur diese nutzen muss, wäre es ja egal wo die Ljapunov-Funktion ihre Ruhelagen hätte, denn dann wären quasi alle stationären Punkte (in)stabil, je nachdem was rauskommt... Danke schon mal!

Meine Ideen:
Meine Ideen stecken bereits in der Fragestellung drin...
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