Bernoulli mit Teilchen

20.12.2014, 18:55

Malicious

Bernoulli mit Teilchen

Meine Frage:
Hallo,

Ein Teilchen bewegt sich zufällig in einem Gitter mit den Maßen 10X10. Teilchen startet in A und läuft in unabhängigen Schritten in jeder Zeiteinheit zum nächsten Gitterpunkt nach obn oder nach rechts. Als Erfolg zählt ein Schritt nach rechts. Die Erfolgs-WK beträgt 0,7.

(a) Wo kann sich das Teilchen nach Schritten befinden? Welche Position ist am wahrscheinlichsten? Begrüünden Sie?

(b) Mit welcher WK gelangt es zum Punkt B?

(c) Die Erfolgs-WK sei nun gleich p. Für welches p wäre B der wahrscheinlichste Zielpnkt? Begründen SIe?

Meine Ideen:
also zunächst zur Darstellung vom Gitter, man kann sich das ja auch als Koordinatensystem vorstellen, wobei Punkt A den Koordinatenursprung darstellt also Koordinaten (0,0) die Lage von B kann man durch (5,5) ausdrücken...

zu (a) das Teilchen kann sich auf vielen Positionen nach 10 Schritten befinden, z.B. bei (10,0); (0,10); (9,1); (1,9);...

am wahrscheinlichsten ist aber Position (10,0) also von (0,0) ganz nach rechts dann ist ja auch die Erfolgs-WK am größten also $\begin{eqnarray*} 0,7^{10} \end{eqnarray*}$ alllerdings gibt es auch nur genau einen Weg zur Position (10,0).

zu (b) also B hat ja die Position (5,5), wieviele Wege gibt es zu diesem Punkt? Da gibts einige ... ich hab mir bisher 10 Wege aufgeschrieben....

o:= oben und r:= rechts

Weg 1: 3r 2o 2r 30 WK: $\begin{eqnarray*} 0,7^{3}*0,3^{2}*0,7^{2}*0,3^{3} \end{eqnarray*}$ +
Weg 2: 3o 2r 2o 3r WK: ... +
Weg 3: 3o 3r 2o 2r
Weg 4: 3r 3o 2r 3o
Weg 5: 4o 3r 1o 2r
Weg 6: 4r 3o 1r 2o
Weg 7: 5o 5r
Weg 8: 5r 5o
Weg 9: 1o 1r 1o 1r 1o 1r 1o 1r 1o 1r
Weg 10: 1r 1o 1r 1o 1r 1o 1r 1o 1r 1o

usw...

Also im Prinzip addiere ich dann alle WK meiner Wege oder?

Sind meine Überlegungen bis dahin richtig so?

20.12.2014, 20:05

Dopap

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prinzipiell richtig aber ich meine, du machst es zu aufwändig.

b.) Zum Punkt B gibt es $\begin{eqnarray*} \binom {5+5}{5}= \binom {10}{5}=252 \end{eqnarray*}$ Wege

Nennen Wir H die Zufallsvariable für einen horizontalen Zug mit p=0.7

dann wird B mit $\begin{eqnarray*} p(H=5)=252p^5(1-p)^5 \end{eqnarray*}$ getroffen.

20.12.2014, 20:49

Malicious

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Hallo Dopap,

danke, jaaa hab mir schon gedacht, dass ich wieder zu kompliziert denke Big Laugh

Also zu $\begin{eqnarray*} \binom {5+5}{5} \end{eqnarray*}$ hast du da diese Identität benutzt ... $\begin{eqnarray*} \binom {k+l}{k} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \binom {n}{k} \end{eqnarray*}$ ?

Dann hab ich das verstanden.

und zu (c) soll ich dann das hier $\begin{eqnarray*} p(H=5)=252p^5(1-p)^5 \end{eqnarray*}$ nach p umstellen?

20.12.2014, 21:20

Dopap

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Zitat:

Original von Malicious

Also zu $\begin{eqnarray*} \binom {5+5}{5} \end{eqnarray*}$ hast du da diese Identität benutzt ... $\begin{eqnarray*} \binom {k+l}{k} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \binom {n}{k} \end{eqnarray*}$ ?

Dann hab ich das verstanden.

nun, wenn du mit k horizontale Züge und mit l vertikale Züge bezeichnest, dann ist das richtig. Das ist aber keine Identität, da eben n=10 vorgegeben ist.

Zitat:

und zu (c) soll ich dann das hier $\begin{eqnarray*} p(H=5)=252p^5(1-p)^5 \end{eqnarray*}$ nach p umstellen?

eher nicht, und wie sollte das gehen ? p ist die Variable !!
wenn du ein Maximum suchst, ist eher

$\begin{eqnarray*} \frac {\dd }{\dd p}p(H=5) =0 \end{eqnarray*}$ zu untersuchen.

allerdings erlaubt die Aufgabe auch zu argumentieren...

20.12.2014, 22:03

Malicious

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achso ich muss das Maximum betrachten...

also dann sieht das so aus ... mit Produktregel

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial}{\partial p} \end{eqnarray*}$ P(H=5) = 1260 $\begin{eqnarray*} p^{5}(1-p)^{4}(1-2p) \end{eqnarray*}$

dann ist $\begin{eqnarray*} \frac {\partial}{\partial p}p(H=5) =0 \end{eqnarray*}$ erfüllt für $\begin{eqnarray*} p_{1}=1/2 , p_{2}=1 , p_{3}=0 \end{eqnarray*}$

Nun möchte ich mein Maximum also

$\begin{eqnarray*} \frac{\partial^{2}}{\partial^{2} p} \end{eqnarray*}$ P(H=5) < 0 ist für $\begin{eqnarray*} p_{1}=1/2 \end{eqnarray*}$ erfüllt.

also für $\begin{eqnarray*} p_{1}=1/2 \end{eqnarray*}$ wäre B der wahrscheinlichste Zielpunkt.

Argumentation: ich weiß nicht genau, was ich sagen soll B hat ja die koordinaten (5,5) befindet sich also genau in der mitte vom Koordinatensystem und von (0,0) zu (5,5) gibt es eben genau 2 wege also 5 nach rechts 5 nach oben bzw. 5 nach oben und 5 nachts und deshlab muss p= 1/2 sein ??

das hört sich aber komisch an verwirrt

20.12.2014, 22:23

Dopap

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stimmt soweit !

du hast schon mitgekriegt, dass es 252 Wege nach B gibt. ??

mit p=0.5 ist die Binomialverteilung symmetrisch und hat das Maximum für den Erwartungswert $\begin{eqnarray*} E(H)= np=10\cdot 0.5 =5 \end{eqnarray*}$

20.12.2014, 22:35

Malicious

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Ja ich hab's mitbekommen Big Laugh

.... ich hab mich einfach falsch ausgedrückt, ich meinte eigentlich auch das mit der Symmetrie.... Jetzt macht das Sinn, danke dir und gute Nacht.

20.12.2014, 22:39

Dopap

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schön wenn ich helfen konnte Wink

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