Grenzwert berechnen (undendlich hoch 0)

20.12.2014, 20:16

DrHWI

Grenzwert berechnen (undendlich hoch 0)

Meine Frage:
Hallo,

ich übe momentan Grenzwerte nach l'Hôpital zu berechnen und habe folgende Aufgabe:
$\begin{eqnarray*} G = \lim_{x \to \frac{\pi}{2}} (tan x)^{cos x} \end{eqnarray*}$
Dies wären ja, der Ausdruck unendlich hoch 0.

Meine Ideen:
Ich habe also folgendes getan

$\begin{eqnarray*} exp (\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} tan x * cos x) = exp (\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{tanx}{\frac{1}{cos x}}) \end{eqnarray*}$

Womit ich auf die Form unendlich durch unendlich kommen würde und nun mit dem Ableiten anfangen könnte.

$\begin{eqnarray*} exp (\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{1}{cos^2x}}{-\frac{1}{cos^2 x}})= exp (\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{-cos^2 x}{cos^2 x}) \end{eqnarray*}$
Und nun würde ich immer wieder von cosinus nach sinus, von sinus nach cosinus usw. ableiten, ohne jemals auf ein Ergebnis zu kommen, oder? Was mach ich falsch? Kann mir da jemand weiterhelfen? smile

20.12.2014, 20:33

10001000Nick1

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Wenn du $\begin{eqnarray*} \tan(x)^{\cos(x)} \end{eqnarray*}$ als Potenz mit der Basis $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ schreiben willst, dann muss doch da auch irgendwo der $\begin{eqnarray*} \ln \end{eqnarray*}$ mit rein.

20.12.2014, 20:55

DrHWI

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Huuups, oh neeeein, ich hab die Formel falsch gelesen! Hammer

Es wird also $\begin{eqnarray*} cos x * ln (tan x) \end{eqnarray*}$ daraus, womit ich den Audruck 0 mal unendlich hätte. Wenn ich nun aber aus cos x den Kehrwert bilde und in den Zähler ziehe, um so zum Ausdruck unendlich durch unendlich zu kommen, wird dann meine Ableitung nicht unglaublich kompliziert?

20.12.2014, 20:57

10001000Nick1

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Nein. Versuch's doch mal, da kürzt sich dann relativ viel raus. smile

20.12.2014, 21:17

DrHWI

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Ich bin mir leider nicht ganz sicher, ob das so stimmt:

$\begin{eqnarray*} u=ln(tanx), u'=\frac{1}{tan x}, v=\frac{1}{cos x}, v'=\frac{1}{cos^2 x}*(-sinx) \end{eqnarray*}$

Abgeleitet also:

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{tan x}*\frac{1}{cos x}+ln(tanx)*\frac{1}{cos^2x}*(-sinx)}{\frac{1}{cos^2x}} \end{eqnarray*}$

Dann mithilfe des Nenners gekürzt

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{1}{tanx}+ln(tanx)*\frac{-sinx}{cosx}}{\frac{1}{cosx}}<br /> =\frac{\frac{1}{tanx}+ln(tanx)*(-tan x)}{\frac{1}{cosx}} \end{eqnarray*}$

Aber was nun? unglücklich

Ich habe ja noch immer reihenweise unbestimmte Ausdrücke. Sicher habe ich falsch abgeleitet?

20.12.2014, 21:24

10001000Nick1

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Du wendest die Regel von L'Hospital falsch an. Nenner und Zähler werden getrennt abgeleitet, d.h. $\begin{eqnarray*} \lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\ln(\tan(x))}{\frac{1}{\cos(x)}}=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\left(\ln(\tan(x))\right)'}{\left(\frac{1}{\cos(x)}\right)'} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von DrHWI
$\begin{eqnarray*} u=ln(tanx), u'=\frac{1}{tan x}, v=\frac{1}{cos x}, v'=\frac{1}{cos^2 x}*(-sinx) \end{eqnarray*}$

Diese Zeile ist leider auch Murks. Augenzwinkern

Wenn du u ableitest, musst du an die Kettenregel denken, und beim Ableiten von v stimmt das Vorzeichen nicht.

21.12.2014, 12:20

DrHWI

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Du meine Güte, du hast Recht. Was ich da für ein Chaos angestellt habe...

Aber warum ist das Vorzeichen von v falsch? Wenn ich $\begin{eqnarray*} (cos x)^{-1} \end{eqnarray*}$ ableite, ergibt sich für die äußere nicht $\begin{eqnarray*} (-cos x)^{-2} \end{eqnarray*}$ und für die innere $\begin{eqnarray*} - sin x \end{eqnarray*}$ ?

Neuer Versuch (hoffentlich besser):
$\begin{eqnarray*} exp(\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} cos (x) * ln (tan (x))) = exp(\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{ln(tan (x))}{\frac{1}{cos(x)}})= exp(\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{1}{tan(x)}*\frac{1}{cos^2 (x)}}{-\frac{1}{cos^2 (x)}*(-sin (x))})=exp(\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\frac{1}{tan(x)}}{-1*(-sin (x))}) \end{eqnarray*}$

Was dann den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} exp(\frac{0}{-1*(-1)})=exp(\frac{0}{1})=exp(0)=e^0 \end{eqnarray*}$ ergeben würde? Mein Grenzwert ist also 1?

21.12.2014, 12:31

10001000Nick1

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Zitat:

Original von DrHWI
Wenn ich $\begin{eqnarray*} (cos x)^{-1} \end{eqnarray*}$ ableite, ergibt sich für die äußere nicht $\begin{eqnarray*} (-cos x)^{-2} \end{eqnarray*}$

Nein, die äußere Ableitung ist $\begin{eqnarray*} -(\cos(x))^{-2} \end{eqnarray*}$ . Dieses Minus und das Minus in der inneren Ableitung $\begin{eqnarray*} -\sin(x) \end{eqnarray*}$ heben sich dann auf, sodass nur noch $\begin{eqnarray*} \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} \end{eqnarray*}$ da steht.

Der Rest ist richtig (auch die Vorzeichen Augenzwinkern

21.12.2014, 12:35

DrHWI

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Super, vielen Dank für deine Hilfe!!! smile

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