Standar(t)d-Fehler bei Anfängern (und Fortgeschrittenen)

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Iorek Auf diesen Beitrag antworten »
Standar(t)d-Fehler bei Anfängern (und Fortgeschrittenen)
Hey zusammen,

ich suche für ein (privates) Projekt typische Fehler, die von Mathematikstudenten vor allem zu Beginn ihres Studiums gemacht werden (nicht dass ich zu wenig zu tun hätte, eigentlich stehen diverse Staatsexamensprüfungen inklusive einer Staatsarbeit und diverse Tutortätigkeiten an...). Was für Fehler meine ich damit?

  • Aufgabe: Seien reelle Folgen mit und . Zeige: .

    Beweis: Da ist für alle . Also ist .

  • Da stetig ist, ist differenzierbar.

  • , da


Falls jemand selber solche Leichtsinnsfehler produziert oder auch als Tutor korrigiert hat und mir diese (anonymisiert) zukommen lassen will, immer her damit. smile
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Oft gesehener Fehler: , weil .
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Sei offen, d.h. es existieren offen mit .
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

im Anfängerbereich (und auch später auch noch )

, prominent ist dabei :

Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Auch in letzter Zeit ein paar mal gesehen:

Variablen, die in Mengendefinitionen benutzt werden, gelten als eingeführt und es existieren auch auf jeden Fall Elemente mit diesen Eigenschaften. Beispiel: Man soll zeigen, dass für die Menge nicht leer ist. Beweis: ist nicht leer, weil gilt.


Oder auch, dass man bei einer zu zeigenden Aussage beginnt und dann so lange umformt, bis etwas wahres dort steht. Dabei werden dann allerdings nicht die eigentlich zu zeigenden Implikationen gezeigt, sondern nur .
Besonders beliebt ist das bei Induktionen.
magic_hero Auf diesen Beitrag antworten »

Bei mir kam neben dem bisher Genannten auch schon vor:
- Eine Menge ist offen, weil sie nicht abgeschlossen ist oder umgekehrt.
- "", vor allem wenn man Grenzwerte wie z.B. den von für und ein bestimmen soll.
Huy Auf diesen Beitrag antworten »

http://mathoverflow.net/questions/23478/...-in-mathematics

MfG
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huy
http://mathoverflow.net/questions/23478/...-in-mathematics



Das sind ja krasse Geschichten, man kann's kaum glauben. Insbesondere die pi=22/7 -story ROFL
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Insbesondere die pi=22/7 -story ROFL

Im Vergleich zu bzw. ist das immerhin ein Genauigkeits-Fortschritt.
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap

Dazu das passende Pendant: Augenzwinkern
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Klagelied eines Lehrers

Regeln werden von vielen Menschen nur formal verstanden, nicht inhaltlich.



Allein daß links ein Produkt, rechts eine Summe steht, ist vielen nicht bewußt. Ein Verständnis dieser Regel setzt eben nicht nur ihr formales Aussehen voraus, sondern auch ihre inhaltliche Bedeutung: In einer Sondersituation wird aus einem Produkt eine Summe oder aus einer Summe ein Produkt. Schon das Rückwärslesen dieser Regel, also das Ausklammern von , stellt für viele ein unüberwindbares geistiges Hindernis dar. Man wird sich als Lehrer daher bemühen, diese Regel in verschiedenen Kontexten zu veranschaulichen: Zahlenbeispiele, Wiedererkennen von bekannten Algorithmen aus der Grundschule ("fünf mal dreizehn ist fünf mal zehn plus fünf mal drei"), zeichnerische Interpretation der Produkte als Flächeninhalte von Rechtecken.
Es hilft aber alles nichts: Für einen nicht unbedeutenden Teil der Schülerschaft bleibt das alles nicht hängen. Rein der formale Umformungsvorgang ist es, der am Schluß übrig bleibt. Und einmal verstanden, wird er in vielen anderen Situationen scheinbar wiedererkannt und übertragen. Dopap hat den allgemeinsten Fall genannt: , auch mit anderen Rechenoperationen als der Addition. Als da wären:

(ebenso mit anderen Exponenten)









oder auch ohne Klammern

Die Beispiele ließen sich beliebig fortsetzen. Manchmal verlegt man sich als Lehrer darauf, wüste Drohungen auszusprechen, um zu verhindern, daß diese falschen Umformungen durchgeführt werden. Aber auch das hilft nur begrenzt. Zwar meiden dann einige Schüler eine Umformung wie . Aber nur weil sie sich der Autorität des Lehrers beugen, nicht aus einer inneren Überzeugung heraus. Man merkt es daran, daß sie die Problematik in einer leicht veränderten Situation nicht wiedererkennen. Möglicherweise setzen sie bei einer speziellen geometrischen Aufgabe den Satz des Pythagoras korrekt an:



um dann so fortzufahren:



Was kann man dagegen tun? Nichts. Ich habe lernen müssen zu akzeptieren, daß wir eine bedeutende Zahl an Menschen mit höherer Mathematik nicht erreichen. Es fehlt diesen Menschen einfach der Zugang zu dieser Art des Denkens. Auch Nachhilfe und viel Üben schaffen nur vorübergehend und vordergründig Besserung. In vielen anderen Lebenssituationen, ich denke da an so etwas wie musikalische und sportliche Begabungen oder handwerkliches Geschick, sind wir sofort bereit hinzunehmen, daß nicht jeder vorne mitspielen kann. Es ist aber bei intellektuellen Leistungen genau so. Nur wird es hier nicht akzeptiert. Man glaubt, wenn nur die richtigen Schulformen, besser und kompetenter ausgebildete Lehrer, modernere Unterrichtsmethoden und vieles andere mehr bereitstehen, wird alles besser. Die menschliche Konstante wird dabei einfach ignoriert.

Statt alle Schüler möglichst lang in eine gemeinsame Schule zu sperren, was, wenn möglichst viele Schüler das Bildungsziel erreichen sollen, nur mit einer permanenten Senkung des Niveaus einhergehen kann (ich kann davon ein Lied singen), hielte ich es für besser, schon relativ früh zu differenzieren und die Schultypen und Bildungsangebote zu erweitern, sowohl vom Anspruchsniveau als auch von der fachlichen Ausrichtung her, mit vielen Übergangsmöglichkeiten in verschiedenen Altersstufen. Nicht jedem dasselbe zukommen lassen, sondern jedem das Entsprechende. Das würde allerdings ein Umdenken voraussetzen. Jeder Mensch hat Fähigkeiten und Begabungen. Allerdings sind gewisse davon gesellschaftlich nicht anerkannt. Und so ist für die meisten Eltern nur das Abitur als Schulabschluß ihrer Kinder denkbar, ein Scheitern ist da nicht vorgesehen und wird als Schmach empfunden. Solange sich dieses Denken nicht ändert, wird keine Besserung eintreten. Und so mache ich mir keine Illusionen, den Zug zur Einheitszwangsschule mit immer geringerem Anspruchsprofil aufhalten zu können. Ändern wird sich vermutlich erst dann etwas, wenn der Karren an die Wand gefahren ist: wirtschaftlicher Niedergang mangels kompetenter Fachkräfte.

Ich bitte um Nachsicht, wenn ich zum Schluß hin vom Thema "mathematische Fehler" abgekommen bin und mich in eine allgemeine Bildungsdiskussion begeben habe. Ein Deutschlehrer würde vielleicht sagen: Thema verfehlt. Ist mir aber gerade egal.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Es ist aber bei intellektuellen Leistungen genau so. Nur wird es hier nicht akzeptiert. Man glaubt, wenn nur die richtigen Schulformen, besser und kompetenter ausgebildete Lehrer, modernere Unterrichtsmethoden und vieles andere mehr bereitstehen, wird alles besser. Die menschliche Konstante wird dabei einfach ignoriert.
[...]
... die Schultypen und Bildungsangebote zu erweitern, sowohl vom Anspruchsniveau als auch von der fachlichen Ausrichtung her, mit vielen Übergangsmöglichkeiten in verschiedenen Altersstufen. Nicht jedem dasselbe zukommen lassen, sondern jedem das Entsprechende. Das würde allerdings ein Umdenken voraussetzen. Jeder Mensch hat Fähigkeiten und Begabungen.
[...]
Ändern wird sich vermutlich erst dann etwas, wenn der Karren an die Wand gefahren ist: wirtschaftlicher Niedergang mangels kompetenter Fachkräfte.


Wahre Worte Gott Gott Gott
Der Fachkräftemangel ist jetzt schon zu beobachten.

Weiterhin gibt es leider einen nicht unerheblichen Anteil an Schülern, die überhaupt nicht ausbildungsfähig (und -willig?) sind.
Keinerlei Interesse, kein Durchhaltevermögen, unfähig Kritik anzunehmen, keine Anstrengungsbereitschaft, unzuverlässig und nicht in der Lage, sich unterzuordnen.
Dafür aber mit reichlich (gespieltem) Selbsbewusstsein und Anspruchsdenken ausgestattet und schnell bereit, bei den kleinsten Rückschlägen mit Aggression zu reagieren.
Mathema Auf diesen Beitrag antworten »

@Leopold:

Danke für deinen Beitrag. Absolut lesenswert!
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Ich bitte um Nachsicht, wenn ich zum Schluß hin vom Thema "mathematische Fehler" abgekommen bin und mich in eine allgemeine Bildungsdiskussion begeben habe. Ein Deutschlehrer würde vielleicht sagen: Thema verfehlt. Ist mir aber gerade egal.


Da fehlt aber das "Sechs, setzen" des Deutschlehrers. Augenzwinkern Aber bitte, ich finde dieses Thema hochgradig spannend und will dann auch mal meine Sichtweise darlegen, die ich vor einiger Zeit schonmal für eine Hausarbeit formuliert hatte (ich habe es jetzt erst einmal nur kopiert, ob ich jetzt immer noch jeden Punkt so sehen würde, kann ich nicht 100%ig sagen).

Wie viele Schüler würden von sich behaupten, Mathe sei ihr Lieblingsfach? Und wie viele Eltern erzählen ihren Kindern, wie viel Spaß sie doch früher im Mathematikunterricht hatten? Ohne auf eine repräsentative Umfrage zurückgreifen, liegt es nahe zu behaupten, dass es verdammt wenige sind. Wenn man dann einen Schritt weitergeht und Eltern fragt, wie viel sie noch aus dem Mathematikunterricht wissen oder sie mit einigen Fachbegriffen wie Ableitung, Grenzwert, Punktspiegelung, arithmetisches/geometrisches/harmonisches Mittel, Betrag oder Logarithmus konfrontiert, werden die wenigsten eine Antwort darauf geben können. Mathematik scheint für das Leben keine Rolle zu spielen. Damit fällt es sowohl dem Schüler als auch den Eltern natürlich leichter, die "5" in der Mathearbeit zu akzeptieren: "Ich habe es früher nicht verstanden, also macht das nichts, wenn du es auch nicht verstehst."

Eine Bildungslücke in Mathematik ist leicht eingestanden und gehört mittlerweile zum guten Ton. Gibt man stattdessen zu, dass man in Geschichte schon immer schlecht war und mit dem Namen Bismarck nichts anzufangen weiß, keine grobe Zeitangabe geben und erst Recht nichts zu seinem Wirken sagen kann, könnte einem direkt (zurecht) eine schlechte Allgemeinbildung unterstellt werden. Dabei sind natürlich nicht allein die Eltern bzw. allgemeiner die Elterngenerationen an dieser Misere schuld. Die Gründe dafür sind vielfältig, und um sie vollständig zu analysieren, benötigt man definitiv mehr als einen Essay. Trotzdem sollen an dieser Stelle einige Überlegungen zu den sich daraus ergebenden Problemen ausgeführt werden; und wie die Gründe sind auch die Probleme sehr vielfältig.

Probleme für Schüler

Für Schüler ergeben sich in dieser Situation mehrere Probleme. Zunächst einmal ist natürlich der fehlende Spaß zu nennen. Mit Spaß lernt es sich leichter und besser. Fehlt umgekehrt der Spaß, so führt dies sehr schnell zu einem Teufelskreis. Gerade in der Mathematik greift man immer wieder auf bereits bekanntes zurück. Bruchrechnung, elementare Termumformungen (die allseits beliebten binomischen Formeln fallen in dieses Gebiet), Lösen von Gleichungen mittels Äquivalenzumformungen...all dies bildet die Grundlage für die weitere Mathematik und muss dementsprechend gut eingeübt werden.

Verliert ein Schüler bei den grundlegenden Themen bereits den Anschluss, so mag dies im ersten Moment nicht so schlimm erscheinen. Gerade in der Unter- und Mittelstufe gibt es viele verschiedene Gebiete, die im Mathematikunterricht abgedeckt werden. Folgt auf eine mangelhafte Note (5) zur Bruchrechnung eine gute Note (2) zur Geometrie, kann das Problem sehr einfach als Ausrutscher ignoriert werden; schließlich stand zum Ende des Schuljahres ein "befriedigend" auf dem Zeugnis. Im Gegensatz zur Geometrie, welche in der Oberstufe zwar in der analytischen Geometrie noch einmal aufgegriffen wird aber eine eher untergeordnete Rolle spielt, finden sich die algebraischen Grundlagen in jedem Teilgebiet (Analysis, lineare Algebra, analytische Geometrie, Stochastik) wieder. Wenn die Lücken bis zu diesem Zeitpunkt nicht geschlossen worden sind, ist es nur unter enormen Zeitaufwand möglich den Anschluss zu schaffen und sich konstruktiv im Mathematikunterricht zu beteiligen bzw. aus dem Mathematikunterricht etwas für sich mitzunehmen.

Da die Mathematik die Grundlage vor allem für die Physik, aber auch für die anderen Naturwissenschaften bildet, hat das weitere Folgen. Ein mathematisches Grundverständnis ist somit auch für die physikalische bzw. generell für eine naturwissenschaftliche Bildung notwendig. Als unmittelbare Folge sind neben mangelnder Bildung natürlich schlechte Noten und damit ein schlechter Schulabschluss verbunden. Beides hat (direkt und indirekt) Einfluss auf den weiteren Werdegang der Schüler. Zunächst führen schlechte Noten zu mehr Absagen bei Ausbildungs- und Studienplätzen. Allerdings führt die mangelnde, mathematische Bildung in vielen Fällen zu Problemen während der Ausbildung bzw. während des Studiums. Mathematik ist heutzutage allgegenwärtig und auch in Studiengängen zu finden, die zunächst nichts mit Mathematik zu tun haben wollen: es gibt Mathematik für Physiker, Informatiker, Biologen, Chemiker, Maschinenbauer, Elektrotechniker, Umweltingenieure, Bauingenieure, Psychologen, Soziologen...alle mit ihrem eigenen Anspruch und Vertiefungen, aber alles im Rahmen einer Mathematikveranstaltung. Die erworbenen Lücken setzen sich also über die Schule hinaus in andere Bildungssituationen fort.

Probleme für Studenten

Als Student ist man auf sich allein gestellt. Natürlich gibt es für jede Situation Hilfestellungen, man wird nicht vollkommen allein gelassen sondern von seinen Eltern und Freunden unterstützt, darüber hinaus gibt es die Möglichkeit sich an die Fachschaft oder die Studienberatung zu wenden. Aber zumindest für den eigenen Lernprozess ist man im Gegensatz zur Schule selbst verantwortlich.

Im Idealfall wird in der Schule vom Lehrer Rücksicht auf bestehende Lücken genommen, woraufhin mit gezielten Wiederholungseinheiten die schwächeren Schüler auf den allgemeinen Stand der Klasse gebracht werden. Dieser Mechanismus fällt an der Universität weg. Man muss sich selbständig mit dem (neuen) Stoff auseinandersetzen und beschäftigen sowie Lernzeiten planen (und auch einhalten). Auch die zu erledigenden Hausaufgaben müssen eigenverantwortlich bearbeitet und abgegeben werden. Kommt man diesen Pflichten nicht nach, wird man aber kaum Rückmeldung vom Professor, Assistenten oder Tutor erhalten; es wurde nicht gemacht und damit ist die Sache abgehakt. Ein "blauer Brief" an die Eltern existiert nicht. Somit muss man selber Motivation finden, um sich mit dem Stoff der letzten Vorlesungen und den Aufgaben auf dem Übungsblatt zu beschäftigen, Spaß an der Sache ist da sicherlich von Vorteil. Parallel Lücken aus der Schulzeit aufzuarbeiten ist nur sehr schwer möglich. Insbesondere fehlt Übungszeit um sich sowohl den neuen als auch den alten Inhalten mit voller Aufmerksamkeit zu widmen.

Darüber hinaus unterscheidet sich die Mathematik an der Universität sehr stark von der Schulmathematik. Üblicherweise ist der Einsatz von Taschenrechnern an der Universität nicht zugelassen, somit müssen zumindest einfache Rechnungen im Kopf bewältigt werden. Neben der Bruchrechnung der sechsten Klasse finden hier auch die Potenz- und Wurzelgesetze, Logarithmengesetze sowie andere elementare Termumformungen wieder Anwendung. Außerdem wird viel mehr Wert auf Genauigkeit und Begründungen gelegt. Die durchgeführten Umformungen und Rechnungen müssen nicht nur richtig sein, es muss zunächst geprüft werden, ob die Umformung überhaupt zulässig ist, ob sich kritische Fälle ergeben...das heißt, dass das Ergebnis nicht mehr im Vordergrund steht, sondern der Lösungsweg mehr Bedeutung erfährt.

Weitere Probleme

Neben den Schülern und Studenten als direkte Leidtragende ergeben sich auch für Professoren und Lehrer Probleme, welche hier noch kurz erwähnt werden sollen.
Zunächst einmal haben die Professoren bzw. die Universitäten in den naturwissenschaftlichen Studiengängen mit steigenden Abbruchsquoten zu kämpfen. Mathematik ist dabei der häufigste Abbruchsgrund. Dem kann mit Vorkursen oder semesterbegleitenden Kursen zwar entgegen gewirkt werden. Neben dem Zeitaufwand und den Kosten, die diese Kurse verursachen, kann der Stoff aus sechs Jahren Mathematikunterricht aber nicht innerhalb eines Semesters wiederholt und verinnerlicht werden. Dies kann sich (fachübergreifend) natürlich auch auf die Qualität anderer Veranstaltungen auswirken.

Neben der Vermittlung von Wissen sollten Lehrer ihre Schüler auch für ihr Fach begeistern können. Um für sein Fach begeistern zu können, muss man allerdings selber von seinem Fach begeistert sein. Dies umfasst in Mathematik mehr als nur ein guter Kopfrechner zu sein, vielmehr muss man sich selber für die abstrakte Welt der (Hochschul-)Mathematik begeistern können. Dies ist bei vielen Lehrern und Lehramtstudenten oftmals nicht der Fall. Damit ist zunächst einmal nicht ausgeschlossen, dass sie mit der Mathematik im Schulkontext gut klar kommen und diese auch gut erklären können. Allerdings reduziert sich bei diesen Lehrern die Tätigkeit auf das Vermitteln von Rechenregeln, nicht auf das Lehren von Mathematik. Für viele Schüler mag dies ausreichen, es wird dem Lehrberuf aber nicht gerecht.

Lösungen?

Auf die Frage, wie man diese Probleme beseitigen kann, gibt es leider (noch) keine Antwort. Ein erster Schritt wäre aber getan, wenn der Mathematik mehr Respekt entgegengebracht wird. Bloß weil man selber mit Mathematik in der Schule oder später keinen Spaß hatte, sollte man diese Meinung nicht auf Kinder projizieren. Dies gilt besonders für Eltern, allerdings allgemein für alle Erwachsenen. Anstatt die Mathematik zu verteufeln und als überflüssig zu entwerten, könnte man dem Kind gegenüber ein positives, interessiertes Auftreten an den Tag legen. Macht aus dem "Das habe ich früher nicht verstanden, also musst du es auch nicht verstehen" ein "Das habe ich früher nicht verstanden aber es hört sich interessant an, kannst du es mir einmal erklären?". Und auch die Schule sollte mutiger sein, echte Mathematik mit in den Unterricht einzuplanen.

Zu oft habe ich es bei Beobachtungspraktika schon selbst erlebt, dass Fragen, die zu einem tiefergehenden Verständnis führen könnten, einfach abgewürgt, ja, regelrecht entwürdigt worden sind. "Das musst du nicht verstehen, das verstehen eh nur die Mathematiker" ist keine angemessene Antwort auf die Frage eines Schülers, der es genau wissen will. Und dieser Drang, es "genau" wissen zu wollen, genau darauf kommt es in der Mathematik an.
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek

Probleme für Schüler

...


Ich stimme dir in jedem Detail zu.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

@Iorek

Aus der Versenkung (sowohl den Thread als auch ich selbst), aber ein sehr beliebter Fehler unter Laien ist der (ebenso fälschlicherweise so genannte) "Umkehrschluss":

Bettgestell Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aussage stimmt doch verwirrt

Duck und weg :P
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aussage stimmt nicht. Was stimmt, ist


oder auch



Es ist aber
Bettgestell Auf diesen Beitrag antworten »

Schade, wenn man Späßchen erklären muss. Mir ist klar, dass Airblader wohl

meinte. Das steht da aber nicht.

Du liegst also falsch, RavenOnJ.
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

@Bettgestell: Ich habe mal eine Äquivalenz draus gemacht.
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

OT

Hi Air, schön dich mal im Board zu sehen. Freude smile

Wink
Airblader Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sulo
OT

Hi Air, schön dich mal im Board zu sehen. Freude smile

Wink


Huhu sulo! So jedes halbe Jahr schaue ich mal vorbei, meist aber nur im Stillen smile
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