Beschränktheit und Totalbeschränktheit sind intrinsische Eigenschaften

Neue Frage »

Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »
Beschränktheit und Totalbeschränktheit sind intrinsische Eigenschaften
Meine Frage:
Hallo,

beweise, dass die folgenden Eigenschaften von Teilmengen im metrischen Raum intrinsisch sind:

a) Beschränktheit
b) Totalbeschränktheit

Meine Ideen:
Seien (X,d) und (Y,d) metrische Räume, wobei Y in X enthalten ist, also ein Unterraum von X ist. Eine Eigenschaft von K als Teilmenge von Y und damit als Teilmenge von X heißt intrinsisch, falls sie unabhängig davon ist, ob K als Teilmenge von X oder als Teilmenge von Y beschränkt wird.

Sei also Y derart gegeben, sodass K < Y < X (das sollen Mengeninklusionszeichen sein). Dann muss gezeigt werden:

K ist beschränkt in (Y,d) gdw. K ist beschränkt in (X,d)

Dasselbe auch bei der Totalbeschränktheit.

Zu a): Zunächst die Hin-Richtung:
Eine Menge K aus einem metrischen Raum (Y, d) heißt beschränkt, wenn sie in einer Kugel mit endlichem Radius enthalten ist, d.h. wenn ein y aus Y und r > 0 existieren, so dass für alle k aus K gilt:
d(y, k) < r.
Ich verstehe das nicht, kann ich den Radius meiner Kugel so groß wählen, sodass K dann auch in X beschränkt ist??? Dann wäre die => - Richtung schon gezeigt oder gehe ich das viel zu leicht an???

Die Rückrichtung scheint mir dagegen offensichtlich zu sein. Wenn K in (X,d) beschränkt ist, dann doch auch in dem Unterraum (Y,d), da dieser in X enthalten ist, oder?????

Und bei der Totalbeschränktheit argumentiere ich genauso nur mit endlich vielen Bällen, oder verstehe ich da auch irgendetwas falsch??

Vielen Dank
Widderchen
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Die Hinrichtung ist die leichte Richtung. Da kann man elegant benutzen, dass Y eine Teilmenge von X ist. Zu beachten ist, dass beide Räume die gleiche Metrik haben! Schreibe einfach die Definition auf und es steht bereits da.

Die Rückrichtung erfordert das benutzen einer Dreiecksungleichung.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

OT
Zitat:
Original von IfindU
Die Hinrichtung ist die leichte Richtung.[...]


das ist nur zu logisch, Tote bringt man schwerlich wieder zum leben Big Laugh
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

doch Dopap, man kann Tote wieder zum Leben erwecken, nämlich mit der Dreiecksungleichung, wie IFindU bereits in der Rückrichtung erwähnt hat!!! Ein Hoch auf die Dreiecksungleichung! LOL Hammer

Zunächst erstmal vielen Dank für eure Antworten!

Zur Hin-Richtung hatte ich auch schon diesen Gedanken. Also sei K in (Y,d) beschränkt. Dann ist K in einer metrischen Kugel mit endlichem Radius r > 0.
Das heißt also, d(y,k) < r für ein y aus Y , für alle k aus K. Da Y nach Voraussetzung eine Teilmenge von X und damit y aus X ist und im metrischen Raum X dieselbe Metrik d vorliegt, folgt daraus unmittelbar per definitionem, dass K auch in X beschränkt sein muss. Das beweist die Hin-Richtung.

allerdings weiß ich immer noch nicht, wie ich geschickt die Dreiecksungleichung nutzen soll. Also sei K in X beschränkt , dann ist K in einer metrischen Kugel mir Radius r > 0, das bedeutet also d(x,k) < r für ein x aus X, für alle k aus K. Da Y in X enthalten ist, kann ein y aus Y gefunden werden, sodass

d(x,k) < d(x,y) + d(y,k) . Mache ich bis hierhin irgendwelche Fehler??? Oder ist sogar alles nicht korrekt?

Grüße
Widderchen
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Also du musst jeweils x und r angeben, s.d. der Ball um x mit Radius r die komplette Menge K enthält. Wird bei dir leider nicht klar wie die bei dir aussehen.
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Dann weiß ich an dieser Stelle auch nicht weiter. Soll r irgendwie noch größer als d(x,k) sein??? Ich bin verwirrt!!

Widderchen
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Also nehmen wir die Hinrichtung. Die Menge K ist in Y beschränkt (was heißt das?), dann willst du zeigen, dass es in X beschränkt ist (was heißt das, was wäre nun die kanonische Wahl für das x und r? -- siehe die Definition Beschränktheit in Y)
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.

Sei die Menge K in Y beschränkt. Das bedeutet: K ist in einer Kugel mit endlichem Radius enthalten, d.h. es existieren für alle k aus K, ein y aus Y und r > 0 , sodass
d(y, k) < r.

Zu zeigen ist nun, dass K in X beschränkt ist, d.h. es existieren für alle k aus K ein x aus X und r > 0, sodass d(x,k) < r. Ich weiß, dass Y in X enthalten ist, dann darf ich doch einfach x = y wählen, oder irre ich mich?? Und der Radius kann auch derselbe bleiben, ich denke, das meinst du auch mit "kanonischer Wahl":
Also d(x,k) = d(y,k) < r . Damit ist K auch in X beschränkt, oder ist dies ein fehlerhafter Ansatz??

Viele Grüße
Widderchen
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das ist genau das was ich meinte.

Nun zur Rückrichtung. Nach Definition von Beschränktheit in X bekommst du ein x, was aber nicht zwingend in Y liegen muss. Damit kannst du hier nicht den gleichen Trick verwenden. D.h. diesmal wirst du einen Punkt in y wählen müssen, und den Radius so anpassen, so dass der Ball um y ímmer noch K beschränkt. Als Tipp: Jedes Wahl von y funktioniert, der Radius ist das "interessante".
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, wähle als Radius r := / d(x,y) - d(x,k) / für y aus Y , x aus X\Y

Dann folgt mit der Dreiecksungleichung d(y,k) < / d(x,y) - d(x,k) / = r ?????
Ich habe große Schwierigkeiten darin, geeignete Parameter derart zu wählen, um eine Abschätzung plausibel aussehen zu lassen! unglücklich

Ich habe sogar ein Bild dazu konstruiert, allerdings hilft mir das für die Wahl des r auch nicht weiter!

Grüße
Widderchen
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Der Radius darf natürlich nicht von k abhängen.Du weißt schon, dass du d(y,k) abschätzen willst und das einzige was du tun kannst ist die Dreiecksungleichung zu benutzen. Das liefert . Nun willst du r einfach so definieren, damit es größer als die rechte Seite ist, und zwar unabhängig von k.
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Moment, nach Voraussetzung weiß ich doch, dass d(x,k) < r , richtig???


Dann wähle ich als Radius r* := d(x,y) + r

d(x,y) ist nicht von k abhängig, oder??

Dann folgt nämlich:

d(y,k) < d(y,x) + d(x,k) < d(x,y) + r =: r*

Damit ist K in Y beschränkt. Ich hoffe, das stimmt so!!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Genau Freude
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Puuuh,

nochmals vielen Dank für die Bestätigung, IFindU ! Das habe ich nun verstanden!

Und wie gehe ich nun bei der totalen Beschränktheit vor???

Ich vermute mal, dass das nicht funktioniert, aber totale Beschränktheit impliziert Beschränktheit. Kann ich diese Implikation nun nicht für den Beweis der Intrinsität der totalen Beschränktheit verwenden?? Vielleicht hätte ich dazu zunächst die Intrinsität der Totalen Beschr. zeigen sollen, um dann über die oben genannte Implikation die Intrinsität der Beschränktheit nachweisen zu können.

Nee, ich denke, das ist keine so tolle Idee.
Also ich muss folgende Äquialenz zeigen:
K totalbeschränkt in (Y,d) gdw. K totalbeschränkt in (X,d) (d identische Metrik in beiden Räumen)

Ich vermute mal, dass die Hinrichtung hier ähnlich zum Beweis der Beschränktheit verläuft, allerdings habe ich hier nun eine endliche Überdeckung von offenen Bällen vorliegen. Muss ich aufgrund der vielen Bälle nun zusätzliche Informationen berücksichtigen, oder genügt es einfach, einen Ball zu betrachten, so wie in Fall a) ???? Ich bin mir nicht sicher!

Widderchen
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Falls K in X totalbeschränkt ist, dann auch in Y. Das ist wieder einfach. Der Anfang: Für seien die Bälle eine Überdeckung von K mit . Finde eine mit Bällen mit Zentren in Y.

Die Rückrichtung ist diesmal komplizierter, da man diesmal ggf. zu große Bälle bekommt.
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,

Sei K in X totalbeschränkt, das bedeutet, dass zu jedem eps. > 0 eine endliche Menge von Punkten
x1,...,xn aus K (sog. eps.-Netz) existiert, sodass K in der Überdeckung dieser Kugeln mit Zentren xk
k = 1,...,n und Radius eps. enthalten ist.

Da die Überdeckung von K durch die Zentren xk festgelegt ist, muss ich doch nur alle Zentren aus X wählen, die auch in Y enthalten sind. Sei xi,..., xj 1 < i , j < n mit i < j eine Teilfolge der{xk} k = 1,..,n aus Y.
Woher weiß ich dann, dass dieses neu gewählte eps. -Netz dann eine Überdeckung von Y liefert?? Kann der Radius eps. beliebig groß gewählt werden?? Irgendwie komme ich nicht weiter. ...
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Entschuldige -- ich meinte es genau andersrum. Aus Totalbeschränkheit bzgl. Y folgt leicht die bzgl. X.

Und nein -- es kann gut sein, dass du mit deiner Methode keinen einzigen Ball mehr übrig hast. Für die andere sind folgende Überlegungen notwendig: "Alle Bälle, die K nicht schneiden, kannst du ignorieren" und "Jedes Element von K ist näher als Epsilon an einem Zentrumselement dran".
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bin ich total verwirrt!!

ich hatte wirklich gedacht, dass der andere Fall einfacher zu zeigen sei, also dass aus Tot.beschr. in X => Tot.beschr. in Y folgt. Jetzt bin ich aus dem Konzept raus.

Nein, ich weiß nicht mehr weiter!! unglücklich
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Also, die x1 bis xn müssen nicht aus K sein -- sie dürfen aus X sein. Vlt ist das ja der Grund für die Verwirrung.

Edit: Offenbar gibt es auch Definitionen, die dies fordern [ auf den ersten Blick scheinen die äquivalent zu sein.]

Dann gibt es in dem Fall keine schwierige Richtung, weil beides trivial ist. Da die Zentren in K liegen, liegen sie auch in Y. Damit ist es ein Einzeiler. Ob das gemeint war?
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

also ich übernehme erneut die Definition von oben, nur mit vertauschten Rollen von X und Y :

Sei K in Y totalbeschränkt, das bedeutet, dass zu jedem eps. > 0 eine endliche Menge von Punkten
y1,...,yn aus K (oder aus Y??) (sog. eps.-Netz) existiert, sodass K in der Überdeckung dieser Kugeln mit Zentren yk
k = 1,...,n und Radius eps. enthalten ist.

Da die Überdeckung von K durch die Zentren yk festgelegt ist, muss ich doch nur alle Zentren aus Y wählen, die auch in X enthalten sind. Das sind ja dann alle Zentren, da Y nach Vora. in X enthalten ist.
Also ist K auch in X total beschränkt.

Laut Definition der tot. Beschr. müssen die y1,...,yn aus K sein (zumindest steht das auf Wikipedia so!!). Und wenn überhaupt, dadurch dass sie in K sind, sind sie auch automatisch in X, oder nicht?
So, ich hoffe, das genügt, denn sonst weiß ich nicht weiter. verwirrt

Viele Grüße
Widderchen
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, ob die Elemente in K liegen müssen oder nicht hängt von deiner Definition ab. Man kann zeigen, dass es egal ist ob man das fordert nicht. Wenn die in K liegen müssen, dann bist du fertig. Wenn nicht, musst du noch die andere Richtung zeigen. Ich kann dir schlecht sagen, welche ihr benutzt.
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nochmal im Skript nachgesehen, da wurden die Zentrumselemente für das eps.-Netz aus dem metrischen Raum X bzw. Y gewählt, nicht aus K, so ein Mist.

Wie zeige ich denn, dass es gleichgültig ist, ob die Zentrumselemente aus K oder aus Y sind. Ist die Aussage offensichtlich??

Dazu wurde ein Bild eingezeichnet, in welchem alle Zentrumselemente doch wiederum in K enthalten waren.... ??????

Also mache ich es mir leicht und lege fest, dass alle Zentrumselemente in K liegen (sprich: ein Hoch auf Wikipedia!!!) . Dann bin ich mit der Hin-Richtung also fertig und da die Rückrichtung per definitionem genauso bewiesen wird, bin ich tatsächlich fertig!!! Big Laugh

Grüße
Widderchen
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Die Hinrichtung war ja klar, grober Überblick für die Rückrichtung:
Nimm Bälle mit Zentren in X und Radien kleiner als Epsilon/2 s.d. jeder Ball nicht-leeren Schnitt mit K hat. D.h. für jeden Ball nimmt man ein Element in K als neues Zentrum und verdoppelt den Radius. Schon ist man fertig.
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,

auf diese Idee wär ich zwar nicht gekommen, aber es klingt plausibel. Muss dieser Schritt noch explizit formalisiert werden oder genügt das so??
Warum darf ich mir einfach "neue" Zentrumselemente aus K auswählen?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Man darf so ziemlich alles machen -- man muss am Ende nur zeigen, dass es das gewünschte tut Augenzwinkern

Hier benutze ich einfach nur, dass falls k in dem Ball um x mit Radius r ist, dann ist
.
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,

dann habe ich den Beweis dieser Aussage nachvollziehen und verifizieren können!! Vielen Dank für deine Hilfe!! smile

Viele Grüße
Widderchen
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »