Grenzwert Riemannscher Summen

21.12.2014, 01:07

Jenz1992

Grenzwert Riemannscher Summen

Hallo,
ich habe folgende Aufgabe, für die ich Hilfe benötige:

Betrachtet wird die Funktion $\begin{eqnarray*} f: \mathbb R \to \mathbb R , f(x) = x^2 \end{eqnarray*}$ .
Das Ziel von der Aufgabe ist, das Integral $\begin{eqnarray*} \int_0^a f(x)dx \end{eqnarray*}$ nur mit Hilfe der Definition,
also als Grenzwert Riemannscher Summen, zu berechnen.

(a) Zeigen, dass für alle Zahlen $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N_{>0} \end{eqnarray*}$ die folgende Gleichung gilt:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \end{eqnarray*}$

(b) Gegeben ist eine Zahl $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N_{>0} \end{eqnarray*}$ , betrachten Sie die Zerlegung
$\begin{eqnarray*} Z_n = (\frac{0}{n}a, \frac{1}{n}a, \frac{2}{n}a, ..., \frac{n}{n}a) \end{eqnarray*}$
Berechnen Sie die Riemannsche Summe $\begin{eqnarray*} S_{Zn} (f) \end{eqnarray*}$ , prüfen Sie, ob der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \inf} S_{Zn} (f) \end{eqnarray*}$
existiert und bestimmen Sie den Grenzwert gegebenenfalls.

Also, zum Riemann Integral weiss ich (laut Wikipedia):
Ansatz zur Berechnung des Integrals ist die Approximation der zu integrierenden Funktion durch eine Treppenfunktion.

Die Fläche wird durch die Summe der Flächeninhalte der einzelnen Rechtecke unter den einzelnen „Treppenstufen“ angenähert.
Zu jeder Zerlegung des Integrationsintervalls kann man dazu einen beliebigen Funktionswert innerhalb jedes Teilintervalls als
Höhe der Stufe wählen.

Wählt man in jedem Teilintervall der Zerlegung gerade das Supremum der Funktion als Höhe des Rechtecks,
so ergibt sich die Obersumme, mit dem Infimum die Untersumme.

Die Riemannschen Untersumme und Obersumme:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{O}(Z,f) := \sum \limits_{i=1}^n (x_i-x_{i-1}) \cdot inf( \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} $\lbrace f(x) | x_{i-1}<x<x_i \rbrace$ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathcal{U}(Z,f) = \sum \limits_{i=1}^n (x_i-x_{i-1}) \cdot sup( \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} $\lbrace f(x) | x_{i-1}<x<x_i \rbrace$ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ) \end{eqnarray*}$

Mein Problem ist zunächst:
Wofür brauche ich dazu Teil (a)? Wegen dem x^2, soll ich das durch i^2 ersetzen?
Wenn ich es richtig verstehe habe ich eine Parabel (wegen x^2) und es geht um den Bereich von 0 bis a (laut Integral).
Und a ist wie in Aufgabenteil (b) beschrieben, zerlegt, für mehrere "a"s, die vermutlich die Rechtecke in die das Integral
unterteilt wird zeigen. Die Anzahl der Rechtecke hängt von der Zahl n ab?

Um die Riemannsche Summe S_(Zn)(f) zu berechnen, muss ich für f dann x^2 einsetzen und für a im Integral die Zerlegung?

Ich hoffe, mir kann jemand helfen.
Vielen Dank
Jenz

21.12.2014, 13:58

RavenOnJ

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RE: Grenzwert Riemannscher Summen

Zitat:

Original von Jenz1992
Wofür brauche ich dazu Teil (a)?

Wie lassen sich denn Unter- und Obersumme bei dieser Funktion mit der Zerlegung $\begin{align*} Z_n \end{align*}$ darstellen? Wenn du das weißt, sollte dir klar sein, wozu du Teil a) brauchst.

Zitat:

Wenn ich es richtig verstehe habe ich eine Parabel (wegen x^2) und es geht um den Bereich von 0 bis a (laut Integral).

Korrekt.

Zitat:

Und a ist wie in Aufgabenteil (b) beschrieben, zerlegt, für mehrere "a"s, die vermutlich die Rechtecke in die das Integral
unterteilt wird zeigen. Die Anzahl der Rechtecke hängt von der Zahl n ab?

Wieso "mehrere 'a's"? Es gibt ein a und das ist die obere Integrationsgrenze. Das Intervall $\begin{align*} [0,a] \end{align*}$ wird in n gleichgroße Teilintervalle zerlegt.

Zitat:

Um die Riemannsche Summe S_(Zn)(f) zu berechnen, muss ich für f dann x^2 einsetzen

klar

Zitat:

und für a im Integral die Zerlegung?

keine Ahnung, was du hier meinst.

21.12.2014, 21:25

Jenz1992

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Hallo RavenOnJ,

danke für die Antwort.

Ich weiss nicht wie ich die Unter- und Obersumme darstellen kann.
Soll ich in die Formel für die Unter- und Obersumme x^2 einsetzen an stelle von
x einsetzen?
Ich weiss leider nicht so wirklich wie ich anfangen soll traurig

Danke

21.12.2014, 22:15

Jenz1992

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Ich habe es jetzt so versucht:

Die Riemannschen Untersumme und Obersumme:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{O}(Z,f) := \sum \limits_{i=1}^n (x_i-x_{i-1}) \cdot inf( \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} $\lbrace f(x) | x_{i-1}<x<x_i \rbrace$ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathcal{U}(Z,f) = \sum \limits_{i=1}^n (x_i-x_{i-1}) \cdot sup( \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} $\lbrace f(x) | x_{i-1}<x<x_i \rbrace$ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ) \end{eqnarray*}$

Eine Zerlegung des Intervalls [0;a] mit der Zerlegung
$\begin{eqnarray*} Z_{n} = ( \frac{0}{n} a, \frac{1}{n} a, \frac{2}{n} a, ..., \frac{n}{n} a ) \end{eqnarray*}$

Obersummen für Funktion f mit f(x) = x^2:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{O}(Z,f) =\frac{1}{n} \cdot \frac{0}{n}^2 + \frac{1}{n} \cdot \frac{1}{n}^2 + \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n}^2 + , ..., + \frac{1}{n} \cdot \frac{n}{n}^2 \end{eqnarray*}$

Hier habe ich für den "Abstand" um den das nächste Teilintervall vergrössert wird,
1/n genommen, da zwischen den Werten der Zerlegung Zn immer 1/n liegt um den sich
der nächste vergrössert. Also z.B n=3: 0/3, 1/3, 2/3, 3/3.

Dann habe ich die einzelnen Zerlegungen eingesetzt.

Ist das soweit richtig?
Und wie erhalte ich die Untersumme?
Oder ist das die Untersumme und mir fehlt die Obersumme?

21.12.2014, 23:11

DrMath

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Hi,

die Berechnung dieser Summen funktioniert nach einem eigentlich ganz einfachen Prinzip: Du teilst dein Intervall der Länge a in n gleichlange Stücke. Die Länge jedes dieser Stücke ist dann $\begin{eqnarray*} \frac{a}{n} \end{eqnarray*}$ . In jedem dieser Stücke schaust du nun, was der größste oder kleinste Funktionswert (bzw. das Supremum oder Infinum) ist und multiplizierst ihn mit der Länge des Stücks. So berechnest du für jedes Stück den Flächeninhalt eines Rechtecks, das deinen Funktionsgraphen dort gerade am höchsten bzw. tiefsten Punkt berührt. Die Summe der Flächeninhalte aller Rechtecke ergibt dann den Wert des Integrals bzw. eine Näherung der Fläche "unter der Funktion". Wenn man dieses Prinzip verstanden hat, muss man sich keine Formeln mehr merken.

Wenn du auf diese Weise z.B. die Obersumme berechnen möchtest, musst du also in jedem deiner Stücke für deine Funktion grob gesprochen den größten Funktionswert suchen, welcher für das i. Stück bei $\begin{eqnarray*} \frac{ia}{n} \end{eqnarray*}$ liegen dürfte (also am Punkt, der im jeweiligen Stück am Weitesten rechts liegt, da die Funktion monoton steigend ist). Deine Summanden für z.B.die Obersumme sollten also die Form $\begin{eqnarray*} \frac{a}{n}\cdot \frac{i^2 a^2}{n^2} \end{eqnarray*}$ haben. Diese stellen den Flächeninhalt des dem i. Stück/Teilintervall zugeschriebenen Rechtecks dar.

Wenn du das richtig aufsummierst (am besten als Summe schreiben), kannst du die als Hinweis gegebene Formel benutzen und erhältst im,Limes den wahrscheinlich erwarteten Wert des Integrals.

22.12.2014, 01:33

RavenOnJ

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Erstmal finde ich es gut, dass du Latex benutzt. Allerdings geht es an manchen Stellen einfacher, guck dir meinen Code an.

Zitat:

Original von Jenz1992

Die Riemannschen Untersumme und Obersumme:

$\begin{eqnarray*} \mathcal{O}(Z,f) := \sum \limits_{i=1}^n (x_i-x_{i-1}) \cdot inf( \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} $\lbrace f(x) | x_{i-1}<x<x_i \rbrace$ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathcal{U}(Z,f) = \sum \limits_{i=1}^n (x_i-x_{i-1}) \cdot sup( \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} $\lbrace f(x) | x_{i-1}<x<x_i \rbrace$ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} ) \end{eqnarray*}$

Du hast dabei Unter- und Obersumme verwechselt: Für die Obersumme werden die Suprema, für die Untersumme die Infima benutzt. Also:

$\begin{align*} \mathcal{O}(Z_n,f) := \sum \limits_{i=1}^n (x_i-x_{i-1}) \sup_{x_{i-1}<x<x_i } f(x) \end{align*}$

$\begin{align*} \mathcal{U}(Z_n,f) := \sum \limits_{i=1}^n (x_i-x_{i-1}) \inf_{x_{i-1}<x<x_i } f(x) \end{align*}$

Jetzt gilt es die Suprema bzw. Infima in den einzelnen Intervallen zu finden. Da es sich bei f(x) um eine monoton steigende Funktion handelt, befinden sich die Suprema immer am rechten Rand, die Infima am linken Rand eines Intervalls, also
$\begin{align*} \sup_{x_{i-1}<x<x_i } f(x)=f(x_i)=x_i^2=\left(\frac{ia}{n}\right)^2 \end{align*}$
$\begin{align*} \inf_{x_{i-1}<x<x_i } f(x)=f(x_{i-1})=x_{i-1}^2=\left(\frac{(i-1)a}{n}\right)^2 \end{align*}$

Die Intervalllängen sind unabhängig von i immer $\begin{align*} \frac{a}{n} \end{align*}$ . Die Obersumme lässt sich also schreiben als
$\begin{align*} \mathcal{O}(Z_n,f) := \sum \limits_{i=1}^n (x_i-x_{i-1}) \sup_{x_{i-1}<x<x_i } f(x) =\frac{a}{n}\sum \limits_{i=1}^n \left(\frac{ia}{n}\right)^2 =\frac{a^3}{n^3}\sum \limits_{i=1}^n i^2 \end{align*}$

Entsprechendes für die Untersumme.

Nun kannst du das Ergebnis von Teil a) benutzen und einen Grenzübergang zu einer unendlich feinen Zerlegung machen. Die Differenz von Ober- und Untersumme geht dabei gegen Null.

22.12.2014, 02:05

Jenz1992

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Zunächst vielen Dank RavenOnJ und DrMath.

Ich habe jetzt für die Untersumme:
$\begin{eqnarray*} (\frac{a}{n} )^{3} \cdot \left[0 + 1^2 + 2^2 + \dots + (n-1)^2\right] \end{eqnarray*}$

raus, und für die Obersumme:

$\begin{eqnarray*} (\frac{a}{n} )^{3} \cdot \left[0 + 1^2 + 2^2 + \dots + (n-1)^2 + n^2\right] \end{eqnarray*}$

Mit der Formel aus Teil a:
$\begin{eqnarray*} U_n \leq A \leq O_n \end{eqnarray*}$

Dann beide Seiten eingesetzt und mehrere Schritte.
Das Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} a^3 \cdot \frac{1}{6} \cdot (1 - \frac{1}{n}) \cdot (2 - \frac{1}{n}) \leq A \leq a^3 \cdot \frac{1}{6} \cdot (1 + \frac{1}{n}) \cdot (2 + \frac{1}{n}) \end{eqnarray*}$

An der Grenze für $\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} a^3 \cdot \frac{1}{6} \cdot1 \cdot 2 \leq A \leq a^3 \cdot \frac{1}{6} \cdot1 \cdot 2 \frac{a^3}{3} \leq A \leq \frac{a^3}{3} \end{eqnarray*}$
Reicht das für den Grenzwert oder muss hier noch weiter gerechnet werden?

Das Integral wäre dann:
$\begin{eqnarray*} \int_0^a x^2 dx = \frac{a^3}{3} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?
Vielen Dank smile

23.12.2014, 12:53

RavenOnJ

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Im Prinzip richtig, ich würde nur noch etwas an der Formulierung feilen. Sowas wie: "An der Grenze für $\begin{align*} \lim_{n \to \infty} \end{align*}$ " klingt einfach komisch. Stattdessen wäre besser: Grenzwertbildung $\begin{align*} {n \to \infty} \end{align*}$ rechts und links führt zu

$\begin{align*} \frac{a^3}{3}=\lim_{n \to \infty}\left( \frac{a^3 }{6} \left(1 - \frac{1}{n}\right) \left(2 - \frac{1}{n}\right) \right)\leq A \leq \lim_{n \to \infty}\left(\frac{a^3 }{6} \left(1 + \frac{1}{n}\right) \left(2 + \frac{1}{n}\right)\right)= \frac{a^3}{3}\Rightarrow A= \frac{a^3}{3} \end{align*}$

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