Konvergenzradius einer Potenzreihe mit Fibonacci-Abschätzung

21.12.2014, 12:09

professorfindus

Konvergenzradius einer Potenzreihe mit Fibonacci-Abschätzung

Hallo,
ich stehe gerade vor folgendem Problem:
Gegeben ist die Fibonacci-Folge mit Startwert $\begin{eqnarray*} a_0=a_1=1 \end{eqnarray*}$ und Rekursionsformel $\begin{eqnarray*} a_n=a_{n-1}+a_{n-2}. \end{eqnarray*}$
Die Aufgabenstellung lautet: Zeigen Sie mithilfe der Abschätzung $\begin{eqnarray*} a_n\leq 2^n, n\geq 0, \end{eqnarray*}$ dass die Potenzreihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=0}^\infty a_n x^n \end{eqnarray*}$ einen positiven Konvergenzradius r hat.

Lösung:
Ich will also nur zeigen, dass r größer gleich 0 ist. Ist es dann erlaubt, zu schreiben
$\begin{eqnarray*} r= \lim_{n \to \infty} |\frac{a_n}{a_{n+1}} | = \lim_{n \to \infty} |\frac{a_n}{a_n+a_{n-1}} | \geq \lim_{n \to \infty} |\frac{1}{a_n+a_{n-1}} |=0 \end{eqnarray*}$ ,
auch wenn man den Grenzwert des Quotienten vorab gar nicht kennt? Beim letzten Schritt fließt die Abschätzung ein, weshalb der Quotient im Grenzübergang insgesamt 0 wird. Wie man das mit dem Wurzelkriterium bzw. der Formel von Cauchy-Hadamard zeigt, ist mir klar, bloß interessiert mich, ob es auch mit dieser Formel für den Konvergenzradius geht.

Ich bin euch sehr dankbar über jede Hilfe.

EDIT:
bzw. ich kenne keine Grenzwertrechenregeln, die besagen:
$\begin{eqnarray*} a_n\leq b_n \Rightarrow \lim_{n \to \infty}a_n \leq \lim_{n \to \infty}b_n. \end{eqnarray*}$
Also ist meine Argumentation allein deshalb schon nichtig?

Findus

21.12.2014, 13:10

Che Netzer

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RE: Konvergenzradius einer Potenzreihe mit Fibonacci-Abschätzung

Zitat:

Original von professorfindus
Ich will also nur zeigen, dass r größer gleich 0 ist.

Dass $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ echt größer als Null ist.

Zitat:

Wie man das mit dem Wurzelkriterium bzw. der Formel von Cauchy-Hadamard zeigt, ist mir klar

Noch elementarer ginge es mit dem Majorantenkriterium für $\begin{eqnarray*} \lvert x\rvert<\frac12 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

bloß interessiert mich, ob es auch mit dieser Formel für den Konvergenzradius geht.

Nicht ohne weitere Eigenschaften der Fibonacci-Folge. Für allgemeine Folgen von $\begin{eqnarray*} a_n>0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a_n\leq2^n \end{eqnarray*}$ braucht $\begin{eqnarray*} \frac{a_n}{a_{n+1}} \end{eqnarray*}$ gar nicht zu konvergieren.

Zitat:

bzw. ich kenne keine Grenzwertrechenregeln, die besagen:
$\begin{eqnarray*} a_n\leq b_n \Rightarrow \lim_{n \to \infty}a_n \leq \lim_{n \to \infty}b_n. \end{eqnarray*}$
Also ist meine Argumentation allein deshalb schon nichtig?

Heißt das, ihr dürft diese Regel nicht anwenden, oder du kennst sie bloß nicht?
Wenn die Ungleichung links für fast alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gelten soll, wäre die Aussage jedenfalls richtig. (aber Achtung: Aus $\begin{eqnarray*} a_n<b_n \end{eqnarray*}$ für fast alle $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ folgt bei Konvergenz auch nur $\begin{eqnarray*} \lim a_n\leq\lim b_n \end{eqnarray*}$ ).

21.12.2014, 13:28

professorfindus

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Nein, ich kannte den Satz nur bisher nicht. Habe ihn jetzt aber auch in meinem Skript gefunden Hammer

Ich habe jetzt festgestellt, dass sich der Quotient $\begin{eqnarray*} |\frac{a_n}{a_{n+1}} | \end{eqnarray*}$ für alle n zwischen 1 und 0.5 bewegt. Also ist $\begin{eqnarray*} |\frac{a_n}{a_{n+1}} |\geq \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ für alle n. Kann man dann sagen, dass gilt $\begin{eqnarray*} r = \lim_{n \to \infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}} |\geq 0.5 \end{eqnarray*}$ ?

EDIT:
Also reicht es zu sagen, dass $\begin{eqnarray*} c_n:= |\frac{a_n}{a_{n+1}} | \end{eqnarray*}$ für fast alle n monoton fallend und nach unten durch 0.5 beschränkt ist, woraus die Konvergenz der Folge $\begin{eqnarray*} c_n \end{eqnarray*}$ folgt. Also existiert der Grenzwert
$\begin{eqnarray*} r= \lim_{n \to \infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}} | \end{eqnarray*}$ .

Dann wendet man den Satz von vorhin an (den ich bis vorhin nicht kannte) :

$\begin{eqnarray*} b_n:=0.5 \leq c_n \end{eqnarray*}$ für alle n. Daraus folgt, dass gilt:
$\begin{eqnarray*} 0.5=\lim_{n \to \infty}b_n \leq \lim_{n \to \infty}|\frac{a_n}{a_{n+1}} | = r \end{eqnarray*}$

Also insbesondere ist $\begin{eqnarray*} r > 0 \end{eqnarray*}$ .

Ist das eine schlüssige Argumentation, die als Beweis reicht?

21.12.2014, 13:32

Che Netzer

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Jein. Du kannst jetzt $\begin{eqnarray*} r\geq\frac12 \end{eqnarray*}$ folgern (versuch das mal), aber nicht, dass der besagte Grenzwert existiert.

21.12.2014, 14:01

professorfindus

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Sorry, ich hab zu spät editiert..

Dass man jetzt $\begin{eqnarray*} r\geq 0.5 \end{eqnarray*}$ folgern kann, leuchtet mir ein, wenn der Quotient $\begin{eqnarray*} |\frac{a_n}{a_{n+1}}| \end{eqnarray*}$ für alle n größer gleich 0.5 ist.

Aber kann man, wie in meiner veränderten Fassung geschildert, zeigen, dass der Grenzwert des Quotienten existiert? Ich weiß, dass beim Nachweis der fallenden Monotonie eigentlich für alle n die Beziehung $\begin{eqnarray*} a_{n+1}\leq a_n \end{eqnarray*}$ gelten muss..
Hier ist das für die Folge $\begin{eqnarray*} c_n:=|\frac{a_n}{a_{n+1}} | \end{eqnarray*}$ erst ab n=2 der Fall. Kann man dann nichts mehr über die Konvergenz der Folge aussagen? Weil es kann doch im Grenzübergang eigentlich egal sein, ob für endlich viele (wenige) n die Folge nicht monoton fallend ist, oder täusche ich mich?

21.12.2014, 14:07

Che Netzer

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Ja, eine Folge, die beschränkt und zumindest ab einem gewissen Index monoton ist, konvergiert.

21.12.2014, 14:16

professorfindus

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Ok, danke dir! Freude

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