Verständnisproblem Dirac-Stoß

21.12.2014, 17:05	moclus	Auf diesen Beitrag antworten »
Verständnisproblem Dirac-Stoß In der Vorlesung Systemtheorie rechnen wir ständig mit Impulsfunktionen, Impulsantworten usw ... und der Dirac-Impuls taucht immer wieder auf. Die ganze Geschichte ist für mich sehr abstrakt. Ich versteh wie der Dirac-Impuls zustande kommt, weiß aber nicht wofür er wirklich gedacht ist. In der Praxis kann man einen Dirac-Stoß z.B. mit kurzen hohen Tönen erzeugen, ein Knall oder sonst was. Aber wozu macht man dies? Ich hab immer noch nicht verstanden warum ich all diese Sachen berechne. Wie ich das bisher verstanden habe, kann man den Dirac Impuls aufgrund seiner Wirkung auf beliebe Funktionen y(t) anwenden. Der Dirac Impuls alleine blendet alle Stellen aus, sodass er im Unendlichen an der Stelle x(0) immer noch die Fläche 1 besitzt. Nehmen wir mal als Beispiel die Impulsantwort. Wieso leg ich an den Eingang eines Systems einen Dirac-Impuls? Was kann ich dadurch erreichen? Bin dankbar für jede Hilfe
22.12.2014, 11:45	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich erkläre es mal an einem Beispiel: ---------------------------------------------- Als "System" betrachten wir z.B. einen Federschwinger, also eine Masse m, die ohne Reibung an einer Feder mit der Federkonstanten k schwingt, wobei auf die Masse eine äußere, zeitabhängige Kraft F wirken darf. Dieses System wird durch folgende Differenzialgleichung beschrieben: $\begin{eqnarray} m\tfrac{d^2x}{dt^2}+kx=-F(t) \end{eqnarray}$ Wirkt die äußere Kraft F(t) nicht kontinuierlich, sondern nur als ein einmaliger Stoß zur Zeit to, so ändert sich die Geschwindigkeit der Masse zur Zeit to ruckartig (also unstetig). Danach schwingt die Masse sinusförmig weiter. Die zugehörige Lösung (Impulsantwort) für einen ruckartige nKraftstoß bezeichnet man in der Mathematik als Grundlösung G(t,to) oder als Greensche Funktion. Der ruckartige Kraftstoß wird mathematisch durch eine Diracsche-Delta-Funktion beschrieben. Die Gleichung für diese Grundlösung lautet also $\begin{eqnarray} m\tfrac{d^2G}{dt^2}+kG=-\delta(t-t_0) \end{eqnarray}$ Wenn man die Lösung G(t,to) kennt, also die Impulsantwort auf einen beliebigen Ruck zur Zeit to, so kann man daraus die Lösung x(t) für beliebige kontinuierliche Kräfte sofort als Integral hinschreiben. $\begin{eqnarray} x(t)=\int F(t_0)\cdot G(t-t_o)\,\,dt_o \end{eqnarray}$ Das ist der Witz der Sache und die Motivation für die Beschaftigung mit den Impulsantworten auf "ruckartige" Impulse.
22.12.2014, 12:27	Krilinl	Auf diesen Beitrag antworten »
@Ehos ,,Kennt man die Impulsantwort, so kann man mit Hilfe des Faltungsintegrals das Ausgangssignal für jedes beliebige Eingangssignal berechnen. " Das ist wohl dein genanntes Integral oder? Bin gerade auch dabei etwas in RT zu lernen und Faltung wäre langsam auch dran, deshalb passt es hervorragend diesen Einstieg gefunden zu haben hier. Funktioniert das auch für Sprungantworten? Er stellt ja lediglich die Integration des Diracstoßes dar.
22.12.2014, 14:35	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
@Krilinl Ja, da jedes kontinuierliche Eingangssignal eine zeitliche Kette von hintereinander folgenden Stößen (=Deltafunktionen) ist, ist folglich jedes Ausgangssignal eine Zusammensetzung der einzelnen Stoßantworten. Beides sind aus mathematischer Sicht Faltungen (Siehe die beiden Formeln unten) --------------------------------------------- Deltaförmiger Fall: Eingangsimpuls: $\begin{eqnarray} F(t)=\delta(t_0) \end{eqnarray}$ Ausgangsimpuls (Grundlösung): $\begin{eqnarray} G(t-t_0) \end{eqnarray}$ ------------------------------------------------ kontunierlicher Fall: Das Eingangsimpuls ist eine Faltung aus Deltafunktionen: $\begin{eqnarray} F(t)=\int F(t_0) \delta (t-t_0)\,\,dt_0 \end{eqnarray}$ Das Ausgangsimpuls isst eine Faltung der Stoßantworten: $\begin{eqnarray} x(t)=\int F(t_0) G (t-t_0)\,\,dt_0 \end{eqnarray}$ ---------------------------------------------------- Man kan sich dies wie folgt erklären: Lässt man auf einen Federschwinger unabhängig voneinander 2 verschiedene Krafte wirken, ergeben sich zwei verschiedene Lösungen, die folgenden Gleichungen gehorchen: $\begin{eqnarray} m\tfrac{d^2 x_1}{dt^2}+kx_1=-F_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} m\tfrac{d^2 x_2}{dt^2}+kx_2=-F_2 \end{eqnarray}$ Wirken beide Kräfte gleichzeitig, also die Summe $\begin{eqnarray} F(t)=F_1(t)+F_2(t) \end{eqnarray}$ , so ergibt sich die Bewegung ebenfalls als Summe $\begin{eqnarray} x(t)=x_1(t)+x_2(t) \end{eqnarray}$ der Einzellösungen, denn wegen der Linearität kann man einfach beide Differenzialgleichungen addieren und erhält $\begin{eqnarray} m \tfrac{d^2}{dt^2}(x_1+x_2)+k(x_1+x_2)=F_1+F_2 \end{eqnarray}$ Die Faltung ist nichts weiter als die Verallgemeinerung dieser einfachen Addition
22.12.2014, 21:20	Kopfkratzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Dirac-Stoß ist ein Gedankenkonstrukt das es so nicht gibt und ist somit schwer vorstellbar. Die einfachste Möglichkeit der Vorstellung ist ein Rect impuls der Fläche 1 wobei ich das T gegen uendlich laufen lasse, also die Höhe unendlich groß ist und die Breite unendlich klein.

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