DGL: Integrationskonstante vs. ln-Regeln

21.12.2014, 17:55	laienstefan	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL: Integrationskonstante vs. ln-Regeln Da stolpere ich immer wieder drüber. Gegeben ist folgende DGL: $\begin{eqnarray} \int \frac{dx_1}{x_1} = - \int \frac{dx_2}{x_2} \end{eqnarray}$ Jetzt scheint mir das Vorgehen bzgl. Integrationskonstante(n) nicht eindeutig. So ist es in der Musterlösung gemacht: $\begin{eqnarray} ln(x_1) = - ln(x_2) + ln(C) \end{eqnarray}$ Fasse ich die beiden Terme rechts zusammen, erhalte ich: $\begin{eqnarray} x_2 = \frac{C}{x_1} \end{eqnarray}$ Das macht auch alles schön Sinn, aber was ist, wenn ich die ln-Terme nicht zusammenfasse? Ich komme dann auf: $\begin{eqnarray} x_1 = e^{- ln(x_2) + C} = e^{-ln(x_2)}e^C = Cx_2 \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} x_2 = \frac{x_1}{C} \end{eqnarray}$ Natürlich muss man das Minus nicht ins C reinziehen, aber das ändert ja nix, oder? Also - wo ist der dicke Patzer? :-/
21.12.2014, 18:07	DrMath	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegen dem, Minus vor dem ln muss $\begin{eqnarray} cx_2 \end{eqnarray}$ mE $\begin{eqnarray} \frac{c}{x_2} \end{eqnarray*}$ heißen.
21.12.2014, 18:27	laienstefan	Auf diesen Beitrag antworten »
Da hast du wohl Recht, denn $\begin{eqnarray} -ln(a)=ln(a^{-1}) \end{eqnarray}$ Aber es zwingt mich doch niemand, das so umzuformen, oder?
21.12.2014, 18:39	DrMath	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, dann musst du aber den Exponenten vor dem Auflösen der e-Funktion positiv machen. Und das geht nur, wenn du die e-Funktion in den Nenner schreibst, was zum gleichen Ergebnis führen sollte.

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