unabhängige Zufallsvariablen...unkorreliert

21.12.2014, 19:40

Malicious

unabhängige Zufallsvariablen...unkorreliert

Meine Frage:
Hallo,

Es seien X und Y zwei Zufallsgrößen mit dem selben Erwartungswert und der selben Varianz.
Zeigen Sie, dass U= X+Y und V= X-Y unkorreliert sind, d.h. $\begin{eqnarray*} \rho(U,V) \end{eqnarray*}$ = 0

Meine Ideen:
Also X und Y haben ja die gleichen Eigeschaften nach Vor.

Sprich (i) E(X) = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{w \in \omega} X(w)P(w) \end{eqnarray*}$ = E(Y)= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{w \in \omega} Y(w)P(w) \end{eqnarray*}$

und (ii) Var(X)= $\begin{eqnarray*} E(X^{2})-(EX)^{2} = Var(y)= E(Y^{2})-(EY)^{2} \end{eqnarray*}$

ich hab gerade keine Vorstellung wie U und V konkret ausehen sollen :-/

Also unkorreliertheit liegt ja genau dann vor wenn X und Y unabhängig sind.

Achso was ich noch weiß ist, dass der Erwartungswert linear ist, d.h. es gilt E(X+Y)= E(X)+E(Y) aber was bringt mir das? und die Varianz ist aber nicht linear also nur wenn X und Y unabhängig ist gilt Var(X+Y)= Var(X) + Var(Y)

21.12.2014, 20:54

HAL 9000

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RE: unabhängige Zufallsvariablen...unkorreliert

Zitat:

Original von Malicious
Sprich (i) E(X) = $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{w \in \omega} X(w)P(w) \end{eqnarray*}$ = E(Y)= $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{w \in \omega} Y(w)P(w) \end{eqnarray*}$

Das mit der Summe gilt nur für diskrete W-Räume, aber nicht im allgemeinen Fall. unglücklich

Am besten geht man solchen Mutmaßungen aus dem Weg und beschränkt sich bei den Beweismitteln rein auf die Linearität von Erwartungswert sowie Bilinearität der Kovarianz. Letztere ergibt

$\begin{align*} \operatorname{Cov}(X+Y,X-Y) = \operatorname{Cov}(X,X-Y) + \operatorname{Cov}(Y,X-Y) = \operatorname{Cov}(X,X) - \operatorname{Cov}(X,Y) + \operatorname{Cov}(Y,X) - \operatorname{Cov}(Y,Y) \end{align*}$ .

Die restlichen Umformungen überlasse ich dir, damit nicht alles schon jetzt da steht. Augenzwinkern

21.12.2014, 21:56

Malicious

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Hallo Hal,

ah ja das ist gut, dass ich das mit der summe aufgeführt habe, jetzt hab ich verstanden wann ich das benutzen darf bzw. wann nicht Freude

ok und jetzt zurück zur Aufgabe:

Cov (X+Y, X-Y) = Cov(X,X-Y) + Cov(Y,X-Y)
= Cov(X,X) - Cov(X,Y) + Cov(Y,X) - Cov(Y,Y)
= [E(X*X) - E(X)*E(X)] - [E(X*Y) - E(X)*E(Y)] + [E(Y*X) - E(Y)*E(X)] - [E(Y*Y) - E(Y)*E(Y)]
= 1 - 1 + 1 - 1
= 0

ist das richtig so? dieses doofe U und V haben mich so verwirrt....

21.12.2014, 22:05

HAL 9000

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Woher kommen diese Werte "1", mit denen du da operierst? Ich lese davon nichts in den Voraussetzungen. unglücklich

Warum überhaupt so umständlich? Die gemischten Varianzen $\begin{align*} \operatorname{Cov}(X,Y) \end{align*}$ und $\begin{align*} \operatorname{Cov}(Y,X) \end{align*}$ heben sich gegenseitig weg, und die Kovarianz einer Zufallsgröße mit sich selbst ist deren Varianz. Also geht es kurz und bündig so weiter:

$\begin{align*} \ldots = \operatorname{Var}(X) - \operatorname{Var}(Y) = 0 \end{align*}$ ,

letzteres, da nach Voraussetzungen die Varianzen gleich sind.

21.12.2014, 22:15

Malicious

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Ohh Mannnn unglücklich

.... Ja sorry das mit den "1" die sind vom Himmel gefallen Hammer

Ok danke dir Big Laugh

21.12.2014, 22:25

HAL 9000

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Ein Wort noch zum Threadtitel:

Der ist völlig deplatziert: Von Unabhängigkeit kann hier keine Rede sein - die von X,Y ist nicht vorausgesetzt und auch überhaupt nicht nötig zum Beweis der Behauptung.

21.12.2014, 23:02

Malicious

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Ja das stimmt, die Unabhängigkeit war hier gar nicht zu gebrauchen bzw. Nicht gefragt...

Ich hab halt immer diese Implikation im Kopf, dass aus X und y sind unabhängig folgt cov(x,y) = 0 :-)

Ich hab das jetzt aber verstanden, wenn. Cov(x,y) = 0 dann folgt daraus, dass $\begin{eqnarray*} \ rho(x,y) \end{eqnarray*}$ = 0 ist und somit heißen x und y unkorreliert

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