Wellengleichung Beweis DGL

21.12.2014, 19:41

Der Tommy

Wellengleichung Beweis DGL

Meine Frage:
Hinweis vorab,eigentlich wollte ich das d für die partielle Ableitung nehmen, dieses habe ich im Formeleditor aber nicht gesehen.

Hallo die Wellengleichung $\begin{eqnarray*} h(x, t) = f(x + Ct) + g(x - Ct) \end{eqnarray*}$ , soll jeweils zweimal partiell nach x bzw. t abgeleitet werden, um zu zeigen, das
$\begin{eqnarray*} \frac{d^{2} h}{dx^{2} } = \frac{1}{C^{2} }\frac{d^{2} h}{dt^{2} } \end{eqnarray*}$ gilt.

Meine Ideen:
Auf gehts also. Zunächst habe ich $\begin{eqnarray*} u =x+Ct \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v =x-Ct \end{eqnarray*}$ gesetzt, dann die erste Ableitung nach x und t berechnet mit der Kettenregel. $\begin{eqnarray*} \frac{dh}{dx} =\frac{f(u)}{du} \frac{du}{dx} +\frac{g(v)}{dv} \frac{dv}{dx} \end{eqnarray*}$ mit t sähe das gleich aus, nur das dann dort t anstatt x steht. Was jetzt meine Frage ist, um die zweite Ableitung zu bestimmen, sind die Anteile $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dx} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{dv}{dx} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{du}{dt} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{dv}{dt} \end{eqnarray*}$ nicht Konstanten?
Das würde ja das ganze vereinfachen indem ich nicht mit der Produktregel weiter rechnen muss oder?

21.12.2014, 21:15

Yakyu

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Hi,

ja sind sie und ja das vereinfacht das ganze ungemein.

Gruß

21.12.2014, 21:42

Hausmann

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RE: Wellengleichung Beweis DGL
Der Begriff "Beweis" ist an dieser Stelle leicht neben der Mütze: Aus physikalischen Sachverhalten ergeben sich raum-zeitliche Feldgleichungen (Wellengleichungen), die ihrerseits periodische Lösungen als interessante Sonderfälle bereithalten - was übrigens auch mathematisch viel interessanter ist. mfG

22.12.2014, 11:19

Der Tommy

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Zitat:

Original von Yakyu
Hi,

ja sind sie und ja das vereinfacht das ganze ungemein.

Gruß

Ok nur wie schließe ich darauf, das beide Seiten gleich sind? Für mich sehen die beiden zweiten Ableitungen so aus: Für x: $\begin{eqnarray*} \frac{d^{2} h}{dx^{2} } =\frac{d}{dx} \left(\frac{df(u)}{du} \right) +\frac{d}{dx} \left(\frac{dg(v)}{dv} \right) \end{eqnarray*}$ und für t: $\begin{eqnarray*} \frac{d^{2} h}{dt^{2} } =C^{2}\left(\frac{d}{dt} \left(\frac{df(u)}{du} \right) +\frac{d}{dt} \left(\frac{dg(v)}{dv} \right) \right) \end{eqnarray*}$

Sind die Ableitungen richtig? Und wie kann ich daran sehen, dass gilt, was oben gezeigt werden soll?

Vielen Dank!
Tommy

23.12.2014, 20:18

Yakyu

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Hallo,

ich glaube du verhaspelst dich hier ein wenig in der Notation.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \frac{d^2f}{dx^2} = \frac{d^2u}{dx^2}\frac{df}{du} + \left (\frac{du}{dx} \right )^2\frac{d^2f}{du^2} \end{eqnarray*}$

Gruß

25.12.2014, 11:20

Der Tommy

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Jetzt verstehe ich gar nichts mehr...

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