Schnitt zweier Ebenen

21.12.2014, 20:19	Lorli	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnitt zweier Ebenen Meine Frage: Hallo, mit folgender Aufgabenstellung komme ich nicht klar: Im xyz-Koordinatensystem sind zwei Ebenen e1:ax+by-z=a und e2:bx+ay+z=b. Bestimmen Sie die Gleichung des Elementes in Parameterform, das duch Schnitt von e1 mit e2 entsteht. Meine Ideen: Ich habe mir gedacht, die Gleichung des Elementes soll die Schnittgerade sein. Also wollte ich die Ebenen gleichsetzen. Erst muss ich ja durch a bzw b teilen damit beide gleich null sind. Darf man das? Dann würde das bei mir so aussehen: $\begin{eqnarray} x+\frac{b}{a}y-\frac{z}{a} = x+\frac{a}{b}y+\frac{z}{b} \end{eqnarray}$ Wie geht es dann weiter? Normalerweise würde ich nun z=t sezten, aber das x fällt gleich raus. Das heißt irgendwas ist nicht ganz richtig, oder? Mfg Lorli
21.12.2014, 21:09	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnitt zweier Ebenen Guten Abend, in diesem Falle ist es einfacher das Additionsverfahren anzuwenden: $\begin{eqnarray} \left\|\begin{array}{rcl}ax+by-z&=&a\\bx+ay+z&=&b \end{array} \right. \end{eqnarray}$ Jetzt spaltenweise addieren ergibt: $\begin{eqnarray} (a+b)x + (a+b)y = a+b \end{eqnarray}$ Der Rest ist für Dich.
22.12.2014, 08:43	Lorli	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnitt zweier Ebenen Ok. Danke soweit schonmal. Dann kann ja (a+b) gekürzt werden: $\begin{eqnarray} x+y=1 \end{eqnarray}$ Das heißt, wenn ich y=t setze, erhalte ich x=1-t. Dann ist die Schnittgerade: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ ? \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} -1 \\ 1 \\ ? \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ? Was ist dann z? Null?
22.12.2014, 11:58	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnitt zweier Ebenen Hallo, Dein Zwischenschritt ist richtig, sofern noch die Bedingung $\begin{eqnarray} a+b\ne0 \end{eqnarray}$ dazu kommt. Wenn wir Deine Parametrisierung übernehmen und diese Ebenengleichung: e1:ax+by-z=a, dann hast Du: $\begin{eqnarray} \begin{array}{rcl}x&=&1-t \\ y&=&t \\ z &=& a(1-t) +b \cdot t -a \end{array} \end{eqnarray}$ Das Ganze noch ein bisschen adrett sortieren, so dass man den Richtungs- und Stützvektor der Geraden ablesen kann, und Du bist fertig.
22.12.2014, 21:12	Lorli	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnitt zweier Ebenen Dann erhalte ich für die z-Komponente $\begin{eqnarray} \vec{x} = 0+t(b-a) \end{eqnarray*}$ . Stimmt das? Mir ist gerade nicht ganz klar wie man auf das Additionsverfahren kommt. Das Gleichsetzen macht man ja, weil man einen gleichen Punkt sucht, aber wie lässt sich das Addieren herleiten? Würdest du mir das nochmal kurz erklären?
22.12.2014, 21:53	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnitt zweier Ebenen Guten Abend, Deine z-Komponente ist richtig - die Schreibweise ist allerdings etwas unglücklich. Ich fasse mal für Dich zusammen: $\begin{eqnarray} \begin{array}{rcl}x&=&1-t \\ y&=&t \\ z &=& (b-a) \cdot t \end{array} \end{eqnarray}$ Daraus ergibt sich dann: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \vec x = \begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\ b-a \end{pmatrix} \cdot t \end{eqnarray}$ Zu Deiner Frage: Um gemeinsame Elemente von Punktmengen zu bestimmen (die einfachste Form ist die Schnittpunktberechnung von Geraden), gibt es mehrere Verfahren: das Gleichsetzungsverfahren das Einsetzungsverfahren das Additionsverfahren das Determinantenverfahren um nur die gängigsten zu nennen. Grundsätzlich überprüfe ich Gleichungssysteme darauf, welches Verfahren das ökonomischste sein könnte, d.h., welches Verfahren liefert mir erkennbar am schnellsten verwertbare Ergebnsisse. Ich bin jetzt für ein paar Tage offline. Deshalb wünsche ich Dir schon jetzt ein fröhliches Weihnachtsfest.
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23.12.2014, 10:38	Lorli	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schnitt zweier Ebenen Guten Morgen, jetzt ist alles klar. Vielen Dank für die Hilfe. Wünsche dir auch ein schönes Weihnachtsfest und einen guten Rutsch!

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