Konvergenz/Grenzwert bestimmen

21.12.2014, 23:00

Matheniete_

Konvergenz/Grenzwert bestimmen

Abend,

Sei A Teilmenge von R eine nichtleere, von unten beschränke Menge und I:=iinf A
Zeige, Es gibt eine Folge a_n Teilmenge von A mit a_n gegen I

Wir konstruieren uns eine montonfallende folge die nach unten beschränkt ist

$\begin{eqnarray*} a_n= I+\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

1) a_n monton fallend und
2) nach unbeschränkt

a_n konvergiert

Ich verzweifle, stimmt es denn bisher? unglücklich

21.12.2014, 23:19

Iorek

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Der Gedanke ist zwar nicht schlecht, allerdings funktioniert das so leider nicht. Es ist gefordert, dass die Folgenglieder alle in $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ liegen. Das ist bei deiner Folge im Allgemeinen nicht der Fall, die Menge $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ kann hinreichend "wild" aussehen, sodass $\begin{eqnarray*} I+\frac 1n\notin A \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ gilt.

Was für Eigenschaften hat $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ , wenn es das Infimum der Menge ist?
Wann ist eine Folge konvergent? Könnte man die Eigenschaften des Infimums evtl. mit der Definition der Folgenkonvergenz zusammenbringen?

21.12.2014, 23:26

Matheniete_

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Zitat:

Original von Iorek
Was für Eigenschaften hat $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ , wenn es das Infimum der Menge ist?
Wann ist eine Folge konvergent? Könnte man die Eigenschaften des Infimums evtl. mit der Definition der Folgenkonvergenz zusammenbringen?

konvergenz: Für alle epsilon >0 existiert ein N sodass abs(a_n-a)<epsilon

für alle a_n Element von A
a_n=>I

und ich weß jede beschränkte folge hat ein häufigspunkt

damit kann ich leider immernoch nicht folgen, dass an->I

21.12.2014, 23:29

Iorek

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Wie sieht es denn mit den Eigenschaften des Infimums aus?

21.12.2014, 23:33

Matheniete_

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Für alle epsilon e>0 existiert ein n sodass

a_n- I< e dann ist I das Inf von A, richtig?

aber das wäre doch auch die def der Folgenkonvergenz

21.12.2014, 23:36

Iorek

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Du müsstest noch erklären, wie das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ und das $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ zusammenhängen aber ja, diese Eigenschaft benötigst du. Und eine gewisse Nähe zur Definition der Folgenkonvergenz ist auch vorhanden. Du musst das jetzt nur beides zusammenbringen, um eine passende Folge zu konstruieren.

21.12.2014, 23:45

Matheniete_

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allg gilt

Für alle epsilon e>0 existiert ein n sodass
n-inf<e
n<inf+e

Für alle epsilon wähle a_n:=n und a_n <inf+e dann gilt

abs(a_n-inf)= a_n-inf<e

abs(a_n-inf)<e

22.12.2014, 00:01

Iorek

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Aus deinem Zeichenwirrwar werde ich nicht schlau. Was soll jetzt dein n sein? Wie sieht jetzt deine Folge aus? verwirrt

22.12.2014, 00:20

Matheniete_

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ich weiß nicht unglücklich

22.12.2014, 00:47

Iorek

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Wenn du auch nicht weißt, was du geschrieben hast, ist das natürlich suboptimal. unglücklich

Du musst die Folge ja irgendwie konstruieren bzw. angeben, wie du die jeweiligen Folgenglieder $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ erhältst. Eventuell hilft dir folgendes:

Wenn $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ Infimum von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist, dann gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x<I+\varepsilon \end{eqnarray*}$ . Insbesondere gibt es also zu jedem $\begin{eqnarray*} \frac 1n,n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x_n\in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_n<I+\varepsilon \end{eqnarray*}$ . Damit kannst du das von überabzählbar vielen $\begin{eqnarray*} \varepsilon \end{eqnarray*}$ auf abzählbar viele reduzieren und eine passende Folge konstruieren.

22.12.2014, 00:52

Matheniete_

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ak monton fallend
Da I+ e keine untere schranke sein kann (I war als Inf die größte untere Schranke), gibt es ein ak mit I+e> ak. Wegen der monotonie liegen dann aber auch alle weitere folgenglieder in der e-Umgebung und damit nur endlich viele außerhalb. Also muss I der grenzwert der Folge sein.

23.12.2014, 05:33

Matheniete_

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@Iorek

stimmt mein letzter Beitrag?

23.12.2014, 10:18

Iorek

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Dein $\begin{eqnarray*} a_k \end{eqnarray*}$ soll jetzt deine Folge sein, die du konstruieren willst? Und wie bringst du die Monotonie ein bzw. was ist monoton und warum?

23.12.2014, 12:49

Matheniete_

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Insbesondere gibt es also zu jedem $\begin{eqnarray*} \frac 1n_,n_\varepsilon\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x_{n_{\varepsilon }}\in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x_{n_{\varepsilon }}<I+\varepsilon \end{eqnarray*}$

def $\begin{eqnarray*} x_n:=\frac 1n+ I \end{eqnarray*}$

damit kann zu jeden epsilon ein n gefunden werden sodass $\begin{eqnarray*} x_{n_{\varepsilon }}<I+\varepsilon \end{eqnarray*}$

x_n ist moton fallend also gilt es für alle weitere Glieder mit $\begin{eqnarray*} n>n_\varepsilon \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I-\varepsilon<x_n<x_{n_{\varepsilon }}<I+\varepsilon \end{eqnarray*}$

damit konvergiert x_n gegen I

23.12.2014, 19:27

Iorek

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Nun geht es in die richtige Richtung. smile

(Mir ist gerade auch wieder eingefallen, warum mir diese Aufgabe so bekannt vorkommt. Ich habe sie (mit Supremum statt Infimum) im Übergangs-Marathon Mathematik gestellt...)

23.12.2014, 20:53

Matheniete_

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ich benutze die idee von RavenOnJ

Wenn $\begin{eqnarray*} I \end{eqnarray*}$ Infimum von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ist, dann gibt es zu jedem $\begin{eqnarray*} \varepsilon>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x\in A \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x<I+\varepsilon \end{eqnarray*}$ .

Sei $\begin{eqnarray*} \varepsilon_0 \end{eqnarray*}$ beliebig

dann gibt ein $\begin{eqnarray*} x_0-I<\varepsilon_0 \end{eqnarray*}$

Def $\begin{eqnarray*} \varepsilon_1:= x_0-I \end{eqnarray*}$

dann $\begin{eqnarray*} x_1-I<\varepsilon_1 \end{eqnarray*}$

-> $\begin{eqnarray*} x_1<x_0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varepsilon_n:= x_{n-1}-I \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_n , \varepsilon_n \end{eqnarray*}$ monton fallend
Wegen der monotonie liegen dann aber auch alle weitere folgenglieder in der e-Umgebung und damit nur endlich viele außerhalb. Also muss I der grenzwert der Folge sein.

24.12.2014, 05:03

Matheniete_

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$\begin{eqnarray*} \varepsilon_n:= x_{n-1}-I\geq 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varepsilon_n \end{eqnarray*}$ motona fallend inf \varepsilon_n =0
$\begin{eqnarray*} \varepsilon_n \end{eqnarray*}$ ist eine Nullfolge

Da $\begin{eqnarray*} (\epsilon_n) \end{eqnarray*}$ Nullfolge ist, gilt:
$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} x_n=\lim\limits_{n\to\infty} (I+\epsilon_n)= I \end{eqnarray*}$

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