Differenzierbarkeit

22.12.2014, 13:35

donpain

Differenzierbarkeit

Hallo!

Ich habe in einem Buch folgende Aussage gefunden:

Es wird zu einer Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ die Ober- und Unterableitung im Punkt $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ definiert:

$\begin{eqnarray*} O(f,x_0):=\limsup_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} U(f,x_0):=\liminf_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \end{eqnarray*}$

"Es ist klar, dass stets $\begin{eqnarray*} U(f,x_0)\leq O(f,x_0) \end{eqnarray*}$ gilt und Gleichheit genau dann eintritt, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ differenzierbar ist."

Mein Problem:

Ich seh das alles ein, unter der Annahme, dass die beiden Werte existieren. Warum dies immer so sein sollte sagt der Autor aber garnichts zu. Die Äquivalenz brauch das ja auch nicht, aber für die $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ -Beziehung brauchen wir doch die Existenz?

Mir reicht es, wenn mir jemand die Beziehung für $\begin{eqnarray*} f:[a,b] \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ monoton erklären kann, der Autor trifft allerdings keine Einschränkungen an $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ .

MfG

22.12.2014, 14:32

Che Netzer

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RE: Differenzierbarkeit
Limes superior und inferior "existieren" immer – wenn auch manchmal nur im uneigentlichen Sinne als $\begin{eqnarray*} \pm\infty \end{eqnarray*}$ . [ist das nachvollziehbar?]
Falls also z.B. $\begin{eqnarray*} O(f,x_0) \end{eqnarray*}$ nicht (eigentlich) existiert, so kann man $\begin{eqnarray*} O(f,x_0)=\infty \end{eqnarray*}$ schreiben und $\begin{eqnarray*} U(f,x_0)\leq\infty \end{eqnarray*}$ wird bedeutungslos.
Wenn wiederum $\begin{eqnarray*} U(f,x_0) \end{eqnarray*}$ nicht (eigentlich) existiert, so schreibt man dafür $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ . Insbesondere kann die Gleichheit nur eintreten, wenn beide Werte (im eigentlichen Sinne) existieren.

23.12.2014, 12:22

donpain

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RE: Differenzierbarkeit
Danke Che,

Zitat:

Wenn wiederum $\begin{eqnarray*} U(f,x_0) \end{eqnarray*}$ nicht (eigentlich) existiert, so schreibt man dafür $\begin{eqnarray*} -\infty \end{eqnarray*}$ .

das erklärt alles. Freude

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