Vollständigkeit und Folgenkompaktheit metrischer Produktraum Z = X x Y

22.12.2014, 19:29

Widderchen

Vollständigkeit und Folgenkompaktheit metrischer Produktraum Z = X x Y

Meine Frage:
Hallo,

seien (X , d_X) , (Y , d_Y) metrische Räume. Man definiere im Produktraum
Z := X x Y die Abstandsfunktion

d_Z ((x,y) , (x´,y´)) := max (d_X(x,x´) , d_Y(y,y´))

sodass (Z,d_Z) auch ein metrischer Raum ist.

Zeige: a) Sind X und Y vollständig, dann ist auch Z vollständig.
b) Sind X und Y folgenkompakt, dann auch Z.

Meine Ideen:
Zu a): Ein metrischer Raum X heißt volständig, falls jede Cauchy-Folge in X konvergent ist.
Eine Folge {x_n] heißt Cauchy-Folge, falls d(x_n,x_m)=> 0 für n,m => unendl.
Irgendwie muss ich nun ein Tupel von Folgenelementen (hier geht es um den Produktraum) zweier (oder sogar mehrerer) Cauchy-Folgen betrachten und über die auf Z definierte Metrik geschickt nach oben durch ein Epsilon abschätzen, allerdings weiß ich nicht so Recht, wie ich das notieren soll???

zu b): Wir hatten bereits in der Vorlesung gezeigt, dass der Produktraum Z totalbeschränkt bzgl. unedl. Metrik (also bzgl. Max.-Norm) ist. Zusätzlich hatten wir bewiesen, dass die Eigenschaften
Kompaktheit <=> Folgenkompaktheit <=> Vollständigkeit und Tot.beschr. äquivalent zueinander sind.
Wenn ich also die Vollständigkeit von Z bewiesen habe, dann kann ich doch über die Äquivalenz Folgenkompaktheit <=> Vollständigkeit und Tot.beschr. unmittelbar die Folgenkompaktheit von Z folgern, oder irre ich mich????

Vielen Dank
Widderchen

22.12.2014, 19:43

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Eine Folge {x_n] heißt Cauchy-Folge, falls d(x_n,x_m)=> 0 für n,m => unendl.

Ich hoffe mal du meinst $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}_Z(x_b,x_m)\to_{n,n\to\infty}0 \end{eqnarray*}$ ... Benutze doch statt "=>" besser "->".

Wie sieht jetzt eine Cauchy-Folge in $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ aus? Was ist $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}_Z((x_n^{(X)},x_n^{(Y)}),(x_m^{(X)},x_m^{(Y)})) \end{eqnarray*}$ für eine Cauchy-Folge $\begin{eqnarray*} (x_n^{(X)}) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und eine $\begin{eqnarray*} (x_n^{(Y)}) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ?

22.12.2014, 20:10

Widderchen

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Bijektion,

vielen Dank für den Notationsvorschlag, ich versuche das umzusetzen.

Ähm, meintest du vielleicht d_Z(x_n , x_m) -> 0 für n , m -> unendl. ????

d_Z (...... ......) ist per definitionem der größere der beiden Abstände, die in den Klammern stehen.

Achso, jetzt kapier ich es, ich habe:

max ( d_X (x_n , x_m) , d_Y (y_n , y_m ) ) < eps.

Und da diese Ausdrücke kleiner Epsilon sind, ist auch das Maximum kleiner Epsilon (bzw. gegen Null konvergierend) Damit konvergiert jede Cauchy-Folge, bestehend aus Zweiertupeln der Folgen aus X und Y, in Z. Also ist Z vollsrtändig, ist das korrekt???

22.12.2014, 20:30

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Und da diese Ausdrücke kleiner Epsilon sind, ist auch das Maximum kleiner Epsilon (bzw. gegen Null konvergierend) Damit konvergiert jede Cauchy-Folge, bestehend aus Zweiertupeln der Folgen aus X und Y, in Z. Also ist Z vollsrtändig, ist das korrekt???

Nein, bis jetzt wissen wir nur, wie Cauchy-Folgen aussehen.
Du musst noch zeigen, dass sie auch konvergieren- was aber leicht ist, wenn du weißt, dass $\begin{eqnarray*} (x_n^{(X)}) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und eine $\begin{eqnarray*} (x_n^{(Y)}) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ konvergieren.

22.12.2014, 20:46

Widderchen

Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, tut mir Leid, dann komme ich nicht weiter.

Der Beweis ist bestimmt fast offensichtlich, allerdings weiß ich nicht, wie ich das aufschreiben soll!!

22.12.2014, 20:54

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Nach Voraussetzung konvergiert $\begin{eqnarray*} (x_n^{(X)}) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (x_n^{(Y)}) \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ , d.h. es gibt $\begin{eqnarray*} x_0^{(X)}\in X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_0^{(Y)}\in Y \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}_X(x_n^{(X)},x_0^{(X)})\leq\varepsilon \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathrm{d}_Y(x_n^{(Y)},x_0^{(Y)})\leq\varepsilon \end{eqnarray*}$ f.a. $\begin{eqnarray*} n>n_0 \end{eqnarray*}$ .

Was ist jetzt wohl der Grenzwert in $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ ?

22.12.2014, 21:02

Widderchen

Auf diesen Beitrag antworten »

Das Paar ( x_0 (X) , x_0 (Y) ) müsste der Grenzwert in Z sein!

22.12.2014, 21:03

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das zeigst du auch leicht und bist mit a) fertig.

22.12.2014, 21:59

Widderchen

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss also

d_Z ((x_n (X) , x_n (Y)) , (x_0 (X) , x_0 (Y)) ) betrachten, verstehe ich das richtig???

Denn dieser Abstand beweist die Konvergenz der Paarfolge (x_n (X) , x_n (Y)) gegen den
Grenzwert (x_0 (X) , x_0 (Y))

Ja, dann folgt es ganz schnell, aber im Grunde mit demselben Argument, welches ich im vorigen Post formuliert hatte, oder etwa nicht ???
Dieser Abstand ist folglich kleiner eps. , damiit ist die oben genannte Paarfolge eine Cauchy-Folge mit dem oben genannten Grenzwert, also ist Z = X x Y vollständig.

22.12.2014, 22:11

Widderchen

Auf diesen Beitrag antworten »

Zu Aufgabenteil b):

Kann ich die Folgenkompaktheit von Z über die in meinem ersten Post erwähnte Methode beweisen oder muss ich den Beweis über die Definition der Folgenkompaktheit führen????

Ansosnten vielen Dank für deine Hilfe soweit, Bijektion!! smile

22.12.2014, 23:00

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Mach dir klar was Folgenkompaktheit bedeutet: Für jede Folge gibt es eine konvergente Teilfolge, ist also wie oben $\begin{eqnarray*} (z_n) \end{eqnarray*}$ eine Folge in $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ , so gibt es $\begin{eqnarray*} (x_n),(y_n) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} z_n=(x_n,y_n) \end{eqnarray*}$ .
Voraussetzung nutzen und fertig smile

23.12.2014, 15:31

Widderchen

Auf diesen Beitrag antworten »

X und Y sind folgenkompakt, das bedeutet, dass jede Folge (x_n (X)) aus X und (x_n (Y)) aus Y eine konvergente Teilfolge (x_nk (X)) aus X und (x_nk (Y)) aus Y mit dem jeweiligen Grenzwert x_0 (X) in X sowie x_0 (Y) in Y besitzt.

Sei nun (x_n (Z)) = [(x_n (X)) , (x_n (Y)) ] eine Folge in Z = X x Y . Da X und Y folgenkompakt sind,

kann ich für ein k aus IN das Tupel (x_nk (Z)) = [(x_nk (X)) , (x_nk (Y)) ] definieren . Betrachte nun

d_Z ((x_nk (X) , x_nk (Y)) ; (x_0 (X) , x_0 (Y)) ) =

max { d_X ((x_nk (X) , x_0 (X)) ; d_Y ((x_nk (Y) , x_0 (Y)) } < eps

Das bedeutet aber gerade, dass die oben genannte Paarfolge (x_nk (Z)) = [(x_nk (X)) , (x_nk(Y)) ]
gegen den Grenzwert (x_0 (X) , x_0 (Y)) konvergiert. also konvergiert jede Teilfolge aus Z in Z.

Damit ist Z folgenkompakt. Ist das so angemessen formuliert???

Viele Grüße
Widderchen

23.12.2014, 15:52

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollte so passen.

Neue Frage »

Antworten »

Vollständigkeit und Folgenkompaktheit metrischer Produktraum Z = X x Y

Verwandte Themen