n-Dimensionales Kugelvolumen

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telli Auf diesen Beitrag antworten »
n-Dimensionales Kugelvolumen
Meine Frage:
Hallo,

Ich versuche gerade zu verstehen, wie das Volumen einfacher Körper mit dem Lebesgue-Mass berechnet werden können.

Es soll für die Bestimmung des Kugelvolumens mit dem Radius R anscheinend gelten:



Meine Ideen:
Nach dem Cavelieri Prinzip gilt ja:

wobei

die Schnittmengen sind.

Wieso gilt jetzt:


Kann mir das vielleicht jemand erklären?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist ja , wegen der Translationsinvarianz können wir es ja um den Nullpunkt betrachten.

Jetzt müssen wir den -Schnitt bestimmen: Für etc. bestimmst du rekursiv die weiteren -Schnitte und kommst dann auf .

Dazu musst du jetzt die euklidische Norm bestimmen, nebenbei erhälst du dann auch noch Integralgrenzen.
telli Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort.

Ok die Norm wäre dann:


Die Grenzen kann ich dann für alle bestimmen.
Für habe ich dann:


Und wie geht das jetzt mit der Rekursion?

Etwa so:



.
.
.


Das heisst ich muss mit als aller erstes bestimmen. Was für eine Schnittmenge habe ich aber da?
ist kann das sein? Das Volumen muss ja ein dimensional sein.

Wie berechne ich das jetzt konkret?
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst dir erstmal eine vernünftige Konverntion für die Schreibweise einfallen lassen.
Ich schreibe ab jetzt für , :
und .

Erkennst du daran schon die Rekursion?
Du fängst mit an, dann kannst du die Menge in Abhängigkeit von bestimmen.
Für bestimmst du dann analog die Menge in Abhängigkeit von (und somit insb. von alle mit ).

Die bilden auch die Integralgrenzen: Du kannst offensichtlich eine obere und untere Schranke für die angeben; für muss scheinbar gelten, sonst ist .
telli Auf diesen Beitrag antworten »

Ja stimmt die Konvention ist besser so.

Okay für gilt also


Da

muss gelten:


dann ist


wie kommst du jetzt darauf, dass ist?

Dann müsste gelten:
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
wie kommst du jetzt darauf, dass ist?

Wenn ist, dann ist auf jeden Fall .

Zitat:
Dann müsste gelten:

Genau. Jetzt machst du so rekursiv weiter.
 
 
telli Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wenn ist, dann ist auf jeden Fall .

Ok habe ich verstanden.

Stimmt dann:






.
.
.


und somit


Nun ich weiss nicht so genau, wovon die Funktion abhängt, die Schnittmengen hängen ja von den ab und ich integriere nach heisst das, dass ich die Volumenfunktion als konstant betrachten kann? Irgendwie habe ich aber das Gefühl, dass die von abhängen..
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Für ist das so, für die weiteren musst du aber noch die bereits gesetzten beachten.

Zitat:
und somit

Die Integralgrenzen sehen noch anders aus Augenzwinkern

Zitat:
Nun ich weiss nicht so genau, wovon die Funktion abhängt, die Schnittmengen hängen ja von den ab und ich integriere nach heisst das, dass ich die Volumenfunktion als konstant betrachten kann? Irgendwie habe ich aber das Gefühl, dass die von abhängen..

Wenn du die Integralgrenzen richtig angepasst hast, kannst du in Abhängigkeit von angeben, welches Volumen die Menge hat; kann in einem bestimmten Intervall liegen.
Dann Integrierst du über .
telli Auf diesen Beitrag antworten »

Nun gut dann wurstele ich mal weiterBig Laugh






.
.
.


Stimmts jetzt?

Und das 1 dimensionale Volumen ist dann einfach

Eines verstehe ich aber immer noch nicht: Wieso hängen die Intrervalle nicht von den ab?
Wieso etwa nicht:
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast jeweils die Quadrate bei den 's vergessen, aber ich nehme mal an das war ein Flüchtigkeitsfehler, weil die Folgerung passt Augenzwinkern

Du weißt nun also wo die liegen, das schreibst du nun als Integralgrenzen.

Zitat:
Und das 1 dimensionale Volumen ist dann einfach

Warum? Wenn du gewählt hast, wo darf sich dann bewegen?

Zitat:
Eines verstehe ich aber immer noch nicht: Wieso hängen die Intrervalle nicht von den ab?

Sieh dir an, wie wir die Mengen definiert haben. Wenn außerhalb des Bereichs ist, so ist , also insbesondere ist das Volumen .
telli Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Du hast jeweils die Quadrate bei den 's vergessen, aber ich nehme mal an das war ein Flüchtigkeitsfehler, weil die Folgerung passt

Ach ja klar. Das habe ich übersehen.

Zitat:
Sieh dir an, wie wir die Mengen definiert haben. Wenn außerhalb des Bereichs ist, so ist , also insbesondere ist das Volumen .

Also es gilt ja
Wenn ich nun die Ungleichung nach auflöse bekomme ich doch

Ich verstehe schon, dass ausserhalb von das Volumen sein muss, aber wieso verschwindet unter der Wurzel d.h. wieso gilt für alle ? Sonst müssten ja in den Intervallen auch auftauchen.. Wie steht das in Zusammenhang? Oder sehe das komplett falsch?

Zitat:
Warum? Wenn du gewählt hast, wo darf sich dann bewegen?

Ich dachte bei einer 1 dimensionalen Kugel mit dem Radius wäre das Volumen gerade die Länge des Intervalls also
Und wieso ist einmal x variabel und dann einmal t? mein Hirn explodiert gleich...

Wenn ich die obere Ungleichung nach auflöse bekomme ich:

Heisst das, das ?

Tut mir leid, dass ich so viele Fragen stelle, bin ein blutiger Anfänger in diesem Gebiet. Ich habe diese Themen im Buch Analysis3-Forster gelesen aber nicht wirklich verstanden. Ich danke dir nochmals, dass du dir Zeit nimmst mir das ganze zu erklärensmile
telli Auf diesen Beitrag antworten »
RE: n-Dimensionales Kugelvolumen
Das Integral sieht dann so aus:

bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Wenn ich nun die Ungleichung nach auflöse bekomme ich doch

Nein, wenn da steht , dann wird nach integriert.
Dann steht dort , jetzt kannst du das Volumen aber leicht angeben.

Zitat:
Heisst das, das ?

Ja, so sollte es stimmen.

Zitat:
Ich dachte bei einer 1 dimensionalen Kugel mit dem Radius wäre das Volumen gerade die Länge des Intervalls also

Das ist auch so, aber du hast ja noch die , die du beachten musst.

Zitat:
Ich danke dir nochmals, dass du dir Zeit nimmst mir das ganze zu erklärensmile

Gerne Freude

Zitat:

Hier meinst du wahrscheinlich das richtige, nämlich .
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