n-Dimensionales Kugelvolumen |
22.12.2014, 21:17 | telli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
n-Dimensionales Kugelvolumen Hallo, Ich versuche gerade zu verstehen, wie das Volumen einfacher Körper mit dem Lebesgue-Mass berechnet werden können. Es soll für die Bestimmung des Kugelvolumens mit dem Radius R anscheinend gelten: Meine Ideen: Nach dem Cavelieri Prinzip gilt ja: wobei die Schnittmengen sind. Wieso gilt jetzt: Kann mir das vielleicht jemand erklären? |
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22.12.2014, 21:27 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Es ist ja , wegen der Translationsinvarianz können wir es ja um den Nullpunkt betrachten. Jetzt müssen wir den -Schnitt bestimmen: Für etc. bestimmst du rekursiv die weiteren -Schnitte und kommst dann auf . Dazu musst du jetzt die euklidische Norm bestimmen, nebenbei erhälst du dann auch noch Integralgrenzen. |
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22.12.2014, 22:03 | telli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Danke für die Antwort. Ok die Norm wäre dann: Die Grenzen kann ich dann für alle bestimmen. Für habe ich dann: Und wie geht das jetzt mit der Rekursion? Etwa so: . . . Das heisst ich muss mit als aller erstes bestimmen. Was für eine Schnittmenge habe ich aber da? ist kann das sein? Das Volumen muss ja ein dimensional sein. Wie berechne ich das jetzt konkret? |
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22.12.2014, 22:57 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Du musst dir erstmal eine vernünftige Konverntion für die Schreibweise einfallen lassen. Ich schreibe ab jetzt für , : und . Erkennst du daran schon die Rekursion? Du fängst mit an, dann kannst du die Menge in Abhängigkeit von bestimmen. Für bestimmst du dann analog die Menge in Abhängigkeit von (und somit insb. von alle mit ). Die bilden auch die Integralgrenzen: Du kannst offensichtlich eine obere und untere Schranke für die angeben; für muss scheinbar gelten, sonst ist . |
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23.12.2014, 00:43 | telli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ja stimmt die Konvention ist besser so. Okay für gilt also Da muss gelten: dann ist wie kommst du jetzt darauf, dass ist? Dann müsste gelten: |
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23.12.2014, 16:03 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Wenn ist, dann ist auf jeden Fall .
Genau. Jetzt machst du so rekursiv weiter. |
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23.12.2014, 17:54 | telli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ok habe ich verstanden. Stimmt dann: . . . und somit Nun ich weiss nicht so genau, wovon die Funktion abhängt, die Schnittmengen hängen ja von den ab und ich integriere nach heisst das, dass ich die Volumenfunktion als konstant betrachten kann? Irgendwie habe ich aber das Gefühl, dass die von abhängen.. |
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24.12.2014, 10:33 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Für ist das so, für die weiteren musst du aber noch die bereits gesetzten beachten.
Die Integralgrenzen sehen noch anders aus
Wenn du die Integralgrenzen richtig angepasst hast, kannst du in Abhängigkeit von angeben, welches Volumen die Menge hat; kann in einem bestimmten Intervall liegen. Dann Integrierst du über . |
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24.12.2014, 14:23 | telli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Nun gut dann wurstele ich mal weiter . . . Stimmts jetzt? Und das 1 dimensionale Volumen ist dann einfach Eines verstehe ich aber immer noch nicht: Wieso hängen die Intrervalle nicht von den ab? Wieso etwa nicht: |
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24.12.2014, 14:45 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Du hast jeweils die Quadrate bei den 's vergessen, aber ich nehme mal an das war ein Flüchtigkeitsfehler, weil die Folgerung passt Du weißt nun also wo die liegen, das schreibst du nun als Integralgrenzen.
Warum? Wenn du gewählt hast, wo darf sich dann bewegen?
Sieh dir an, wie wir die Mengen definiert haben. Wenn außerhalb des Bereichs ist, so ist , also insbesondere ist das Volumen . |
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24.12.2014, 16:21 | telli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Ach ja klar. Das habe ich übersehen.
Also es gilt ja Wenn ich nun die Ungleichung nach auflöse bekomme ich doch Ich verstehe schon, dass ausserhalb von das Volumen sein muss, aber wieso verschwindet unter der Wurzel d.h. wieso gilt für alle ? Sonst müssten ja in den Intervallen auch auftauchen.. Wie steht das in Zusammenhang? Oder sehe das komplett falsch?
Ich dachte bei einer 1 dimensionalen Kugel mit dem Radius wäre das Volumen gerade die Länge des Intervalls also Und wieso ist einmal x variabel und dann einmal t? mein Hirn explodiert gleich... Wenn ich die obere Ungleichung nach auflöse bekomme ich: Heisst das, das ? Tut mir leid, dass ich so viele Fragen stelle, bin ein blutiger Anfänger in diesem Gebiet. Ich habe diese Themen im Buch Analysis3-Forster gelesen aber nicht wirklich verstanden. Ich danke dir nochmals, dass du dir Zeit nimmst mir das ganze zu erklären |
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24.12.2014, 16:31 | telli | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
RE: n-Dimensionales Kugelvolumen Das Integral sieht dann so aus: |
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24.12.2014, 17:01 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||||||
Nein, wenn da steht , dann wird nach integriert. Dann steht dort , jetzt kannst du das Volumen aber leicht angeben.
Ja, so sollte es stimmen.
Das ist auch so, aber du hast ja noch die , die du beachten musst.
Gerne
Hier meinst du wahrscheinlich das richtige, nämlich . |
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