Mehrfachintegrale Grenzen setzen

23.12.2014, 11:24	humboldt-revival	Auf diesen Beitrag antworten »
Mehrfachintegrale Grenzen setzen Meine Frage: Hallo zusammen! Ich muss folgende Integrale bzw. Volumina berechnen: $\begin{eqnarray} M:=\left\{ (x,y,z) \in \mathbb R^{n} \| x^{2}+y^{2} \leq z , z \leq x+y \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} N:=\left\{ (x,y,z) \in \mathbb R^{n} \| (x^{2}+y^{2})^{2} \leq 2a^{2}(x^{2}-y^{2}) , (x^{2}+y^{2}) \geq a^{2} \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} O:=\left\{ (x,y,z) \in \mathbb R^{n} \| x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 1, x^{2}+y^{2}\leq z^{2}, z \geq 0 \right\} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: prinzipiell weiß ich wie ich vorzugehen habe, nur scheitert es an der Rechnung bzw. an der Setzung der Integrationsgrenzen. Irgenwie komme ich immer auf rekursive Bezüge. Komme schlicht nicht weiter.
23.12.2014, 16:07	bijektion	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann fang mal mit $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ und dem Prinzip von Cavalieri an. Wie lautet das?
23.12.2014, 17:31	humboldt-revival	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass ich irgenwie Cavalieri verwenden muss, habe ich mir schon gedacht, aber komme trotzdem mit den Grenzen nicht weiter, da ich die zweite Bedinung nicht einbinden kann... Aber hier mal Cavalieri: Da wir ja eine kompakte Menge der Form $\begin{eqnarray} x^{2}+y^{2} \leq f^{2}(z)=z \end{eqnarray}$ haben folgt $\begin{eqnarray} V(K)= \pi \int_K \! f^{2}(z) \, dx \end{eqnarray}$ , aber dabei wurde ja dann ja noch nicht berücksichtigt, dass wir ja eine Ebene noch haben, die das Volumen des Paraboloids begrenzt (?). Hoffe mal das wolltest du hören. Aber weiter bin ich damit leider auch noch nicht, aber schon mal Danke für die Hilfe!

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