Paar kleine Fragen

23.12.2014, 15:30

balance

Paar kleine Fragen

Hallo,

Habe hier ein paar kleine Fragen oder Probleme, wo ich gerne mal ne 2. Sicht hätte. Finde, es lohnt sich nicht für jedes kleien Problem extra n Thread aufzumachen, daher pack ich alles hier rein, zumal es wirklich relativ kleine Fragen sind. Die letzten 2 Fragen sind am unwichtigsten.

1)
$\begin{eqnarray*} \frac{n-1}{2n} \end{eqnarray*}$ Ist das eine Cauchy-Folge?
Wähle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$
Definiere o.B.d.A $\begin{eqnarray*} m \geq n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |a_n-a_m|=|\frac{n-1}{2n}-\frac{m-1}{2m}|=|\frac{nm-m-nm+n}{2nm}|=|\frac{n-m}{2nm}|=\frac{1}{2n}-\frac{1}{2m} \leq \frac{1}{2n} < \epsilon \end{eqnarray*}$

Daraus folgt: $\begin{eqnarray*} N = [\frac{1}{2\epsilon}] \end{eqnarray*}$ qed

Nun, wieso genau muss ich hier $\begin{eqnarray*} m \geq n \end{eqnarray*}$ definieren? Ist doch für den letzten Schritt egal, zumal der Term immer kleiner als 1/2n ist, da ich ja was subtrahiere.

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2)
$\begin{eqnarray*} \frac{1+4n^2}{2+2n^2} \end{eqnarray*}$ Ist das eine Cauchy-Folge?
Wähle $\begin{eqnarray*} \epsilon > 0 \end{eqnarray*}$
Definiere o.B.d.A $\begin{eqnarray*} m \geq n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |a_n-a_m|=|\frac{1+4n^2}{2+2n^2}-\frac{1+4m^2}{2+2m^2}|=|\frac{(1+4n^2)(2+2m^2)-(1+4m^2)(2+2n^2)}{(2+2n^2)(2+2m^2)}|=|\frac{6n^2-6m^2}{(2+2n^2)(2+2m^2)}|=\frac{6m^2-6n^2}{(2+2n^2)(2+2m^2)} \end{eqnarray*}$ (Letzter Schritt weil $\begin{eqnarray*} m \geq n \end{eqnarray*}$ )

Es folgt: $\begin{eqnarray*} |a_n-a_m|=\frac{6m^2-6n^2}{(2+2n^2)(2+2m^2)} \leq \frac{6m^2}{(2+2n^2)(2+2m^2)} \leq \frac{6m^2-6n^2}{(2+2n^2)(2m^2)}=\frac{3}{2+2n^2}\leq \frac{3}{2n^2}< \epsilon \end{eqnarray*}$

Hier habe ich eine Frage zus Abschätzung. Die ersten zwei Abschätzungen waren ja beliebig, einfach eine Verinfachung und da es ja eine Ungleichung ist, darf man da machen wie man lustig ist, solang die Ungleichung stimmt. Nun frage ich mich aber, wegen welcher Argumentation, es am Schluss kleiner gleich und nicht kleiner sein soll?

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3)
Was genau ist das Totale Differential bzw. der Unterschied von Differential und Totales Differential? Auf was bezieht sich das "Total"? Ein Beispiel + Gegenbeispiel wäre toll.

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4)
Mein Buch sagt: Die Folge $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ heisst mon. wachsend, falls $\begin{eqnarray*} a_n \leq a_{n+1} \ \ \forall n \end{eqnarray*}$ ab einem gewissen $\begin{eqnarray*} n_0 \end{eqnarray*}$ Entsprechendes für mon. falled sowie beides strikt.

Man sagt also $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ sei mon. fallend etc. sofern es obiges erfüllt. Nach Buch kann man also sagen dass $\begin{eqnarray*} a_n=\frac{n}{n^2+1} \end{eqnarray*}$ mon. fallend sei, weil dessen Ableitung kleiner gleich 0 für x grösser gleich 1 ist. 1 ist also uner n_0, somit sogut. Stimmt ja alles. Sie sagen nun: Somit ist die Folge a_n monoton fallend.

Kann man das sagen? Ich würde eher sagen, von (-oo,-1] mon. fallend, (-1,1) mon. wachsend und dann wieder [1,oo) mon. fallend. Oder wie ist hier die gängige Art? Sagt man einfach a_n ist *** und schaut was "dominiert"?

Noch eine kleine Frage: Wie wären die Intervalle hier korrekt?

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5)
Stellt euch eine Folge vor, die wie folgt ausschaut: http://de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Folg...llustration.svg

Nun wickelt ihr diese Funktion entlang einer Sinus-förmigen Funktion. Rein bildlich.

Wäre das noch Cauchy Konvergent? Wäre sowas konstruierbar?

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6)
Gibts hier n ausführlichen Artikel zu komplexer Konvergenz? (Ich gebe zu, das ist eine Faulheitsfrage und darf ignoriert werden)

Danke smile

23.12.2014, 16:27

Guppi12

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Hallo,

grundsätzlich ist es schon besser, mehrere Einzelthreads aufzumachen. Als Ersthelfer verpflichtet man sich ja gewissermaßen, den Thread zu übernehmen und die Schwelle dies zu tun ist natürlich erheblich kleiner, wenn man nicht gleich mit einem Fragenberg überrumpelt wird Augenzwinkern

Zu 1.

Grundsätzlich sollte man das anders herum aufschreiben. Die Wahl von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ muss vor der Rechnung erfolgen, sonst fällt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2n}<\epsilon \end{eqnarray*}$ vom Himmel. Natürlich braucht man die Rechnung, um zu sehen, wie man sich $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ wählen muss, im Beweis gehört es trotzdem anders herum.

Zitat:

Nun, wieso genau muss ich hier $\begin{eqnarray*} m \geq n \end{eqnarray*}$ definieren?

Das braucht man in dem Schritt, wo man den Betrag weglässt. Wenn man nicht weiß, ob $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ größer ist, kann man über das Vorzeichen des Ausdrucks keine Aussage machen und folglich den Betrag nicht weglassen.

Zu 2.

Hier das gleiche. Setze $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ direkt nach der Wahl von $\begin{eqnarray*} \epsilon \end{eqnarray*}$ . Lass zur Not eine Zeile frei bist du weißt, wie es zu setzen ist.

Zitat:

Es folgt: $\begin{eqnarray*} |a_n-a_m|=\frac{6m^2-6n^2}{(2+2n^2)(2+2m^2)} \leq \frac{6m^2}{(2+2n^2)(2+2m^2)} \leq \frac{6m^2-6n^2}{(2+2n^2)(2m^2)}=\frac{3}{2+2n^2}\leq \frac{3}{2n^2}< \epsilon \end{eqnarray*}$

Kann es sein, das hier das stehen sollte:

Es folgt: $\begin{eqnarray*} |a_n-a_m|=\frac{6m^2-6n^2}{(2+2n^2)(2+2m^2)} \leq \frac{6m^2}{(2+2n^2)(2+2m^2)} \leq \frac{6m^2}{(2+2n^2)(2m^2)}=\frac{3}{2+2n^2}\leq \frac{3}{2n^2}< \epsilon \end{eqnarray*}$
?

Meinst du, warum die vorletzte Abschätzung ein $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ statt einem $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ ist ?
Man könnte hier ebensogut $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ schreiben. Aber wenn etwas $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ ist, ist es doch erst Recht $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ verwirrt

Solange es für das Endresultat egal ist, ob man jedes mal mit $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ oder mit $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ abgeschätzt hat, schreiben viele Leute einfach immer $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ hin, um sich keine Gedanken machen zu müssen, ob das nun eine echte Ungleichung ist oder nicht.

Zu 3.

Den Zusatz "total" macht man, um das totale Differential von den partiellen Ableitungen abzugrenzen (oder auch anderen Ableitungsbegriffen, wie z.B. dem Gateux-Differential, aber das sagt dir wahrscheinlich noch nichts). Schreibt man einfach so "Differential" so meint man für gewöhnlich das totale Differential. "Total" gibt eben Auskunft welches Differential genau gemeint ist. Ich glaube in der Differntialgeometrie wird man da nochmal wesentlich präziser, die habe ich aber noch nicht gehört. Vielleicht kann jemand aus dem Gebiet nochmal was dazu sagen.

Zu 4. Hier bringst du einiges durcheinander. Folgen kann man nicht ableiten, da Folgen Funktionen auf $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ , also einer diskreten Menge sind. Um Ableitungen zu betrachten braucht man aber immer Informationen über das Verhalten der Funktion auf einer Umgebung um den Differenzierbarkeitspunkt. Das haben wir hier ja nicht gegeben.

Übrigens ist die Definition aus deinem Buch reichlich merkwürdig. Eigentlich heißt eine Folge $\begin{eqnarray*} (a_n)_{n\in\mathbb N} \end{eqnarray*}$ monoton wachsend, wenn $\begin{eqnarray*} a_{n+1} > a_n \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ , nicht erst ab einem Index. Es ist zwar so, dass für die meisten Eigenschaften, die man aus Monotonie einer Folge ableiten kann, gilt, dass es genügt, wenn die Folge erst ab einem bestimmten Index wachsend ist, aber das rechtfertigt noch lange nicht, die Definition dahingehend zu verfälschen.

Das steht auch im Einklang mit dem, was du dahinter schreibst. Allerdings hast du da das gleiche Problem. Du kannst nicht sagen, dass eine Folge auf (-oo,-1] irgendeine Eigenschaft hat. Dort ist sie doch garnichrt definiert! Du kannst nur natürliche Zahlen in die Abbildungsvorschrift einer Folge einsetzen. Andernfalls nennt man die Abbildung nicht Folge.

Zitat:

Noch eine kleine Frage: Wie wären die Intervalle hier korrekt?

Verstehe die Frage nicht.

Zu 5. Nimm zum Beispiel $\begin{eqnarray*} a_n := \frac{\sin(n)}{n} \end{eqnarray*}$ . Ja, diese Folge ist konvergent, also auch eine Cauchyfolge.

23.12.2014, 20:14

balance

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1) Für den Betrag klar. Glaube irgendwo stand, dass man dadurch die letzte Abschätzung machen konnte, was ich für unnötig hielt. Aber egal, ist okay.

2) Wieso sollte < immer auch sofort Gleichheit beinhalten?
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{2+2n^2} \leq \frac{3}{2n^2} \end{eqnarray*}$ Das würde doch nie Gleichheit haben.

3) Okay, dachte ich in die richtige Richtung.

4) Zu 4: Ja, klar kann ich Folgen nicht ableiten. Ich hab hier wohl zu schluffig gefragt. Im Buch wurde sowas gesagt wie "Man denek sich eine Funktion, tausche also "plump" gesagt n mit x aus und leite ab". Sowas in dem Stil. Im Grunde ist die Frage einfach, welche Kriterien eine Folge und Funktion erfüllen müssen, um (strikt) mon. wach/fall. sein muss.

5) Dies war wohl eine komische Frage. Aber erstmal auch ok.

Danke smile

23.12.2014, 20:27

Guppi12

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Zu 2)

Setzen wir uns mal $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ als die linke Seite und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ als die rechte Seite. Du bist doch damit einverstanden, dass $\begin{eqnarray*} A < B \end{eqnarray*}$ gilt. Nun bedeutet aber doch $\begin{eqnarray*} A\leq B \end{eqnarray*}$ nichts anderes als

$\begin{eqnarray*} A = B \end{eqnarray*}$
oder
$\begin{eqnarray*} A < B \end{eqnarray*}$ .

Diese Aussage ist bereits wahr wenn eine dieser Alternativen gilt. Und da du selbst davon überzeugt bist, dass $\begin{eqnarray*} A < B \end{eqnarray*}$ richtig ist, ist $\begin{eqnarray*} A \leq B \end{eqnarray*}$ auf jeden Fall auch richtig.

Mal eine Analogie. Es ist etwa so, wie wenn du jemanden siehst, der eine Banane isst. Ich sage zu dir: Schau mal, da isst jemand Obst. Und du sagst: Nein! Das ist falsch, er isst kein Obst, er isst eine Banane.

Warum schreibt man nun also $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ : Es ist ganz einfach so, dass es hier für das Endergebnis absolut irrelevant ist, ob welches der Symbole wir an der Stelle benutzen. Richtig sind sie beide. Trotzdem macht es weniger Aufwand, $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ hinzuschreiben, weil wir uns keine Gedanken machen müssen, ob vielleicht in irgendeinem Fall mal Gleichheit gelten könnte.

Zu 4: Ja, das kann man machen. Wenn es möglich ist, sich eine differenzierbare Funktion zu basteln der Art, dass man damit gerade seine Folge erhält, wenn man sie auf die Natürlichen Zahlen einschränkt, dann ist die Positivität der Ableitung ein hinreichendes Kriterium für Monotonie. Es ist aber kein notwendiges Kriterium.

26.12.2014, 15:20

balance

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Ja, natürlich. Ich hab hier wohl was durcheinander gebracht. Passt aber. Wie dem auch sei, danke dass du dich all den Fragen angenommen hast

31.12.2014, 10:50

balance

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Ach, noch eine kleine Frage:

Könnte ich bei 2) das N auch in Abhängigkeit von n, epsilon und m machen? Sprich, die Vereinfachung garnicht machen und einfach so nach z.B. n auflösen?

Also $\begin{eqnarray*} N:=[\frac{1}{2(\epsilon + \frac{1}{2m})}] \end{eqnarray*}$

31.12.2014, 12:44

Guppi12

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Das geht, wenn du N wählen kannst, nachdem m,n bereits bekannt sind. Ist das so ?

31.12.2014, 16:18

balance

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hmm, du meinst also mit folgender Definition ginge das nicht?

$\begin{eqnarray*} \forall \epsilon > 0 \ \ \exists N = N(\epsilon) \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} \forall n, m > N : |a_n-a_m|\leq \epsilon \end{eqnarray*}$

Ich denke halt, beide Lösungen sind richtig, da ja n und m beide grösser als N sein müssen. Jedoch ist es wichtig, nach n aufzulösen, da ich ja sagte, n sei kleiner als m. Sonst kriegt man ja eine negative Zahl, ergo keine natürliche Zahl.

Aber ich hab einfach das gefühl ich mach einen Überlegungsfehler.

Was würdest du sagen, wieso man $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2m} \end{eqnarray*}$ ignorieren kann?

Edit: Ich glaub ich habs, mein Fehler war dass ich mit einem fixierten m überlegt habe. Ich würde jetzt sagen, mit obiger Definition gehts nicht, da ich N kennen muss um m zu wählen, ich jedoch N nicht weis ohne dass ich m wähle.

01.01.2015, 20:01

Guppi12

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Zitat:

mit obiger Definition gehts nicht, da ich N kennen muss um m zu wählen, ich jedoch N nicht weis ohne dass ich m wähle.

Ja, genau das habe ich doch in meinem Beitrag davor geschrieben. Schön, dass du das jetzt gesehen hast Augenzwinkern

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