Orthogonalität und lineare Unabhängigkeit

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Conundraah Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalität und lineare Unabhängigkeit
Ich bin beim Rechnen einer Übungsaufgabe auf eine Idee gestoßen, die ich gerne diskutieren möchte.

In der Übungsaufgabe geht es darum, eine orthonormale Basis für den von 3 Vektoren und aufgespannten Unterraum W des zu bestimmen.

Um zu zeigen, dass die Vektoren linear unabhängig sind, würde man ja normalerweise als erstes zeigen, das:


Im Skript und einem Buch habe ich gelesen, dass eine Menge von Vektoren ein Orthogonalsystem bilden, wenn sie paarweise zueinander orthogonal sind (sprich ihre Skalarprodukte 0 sind). Weiterhin habe ich gelesen, dass jedes Orthogonalsystem linear unabhängig ist.

Kann ich also grundsätzlich, statt das LGS zu lösen, einfach zeigen, dass die Vektoren ein Orthogonalsystem bilden, um eine Aussage über die lineare Unabhängigkeit zu treffen?

Beim berechnen der Übungsaufgabe kommt heraus:
und sind nicht orthogonal



Im nächsten Schritt benutzt man das Gram-Schmidt-Verfahren, um die Vektoren zu orthonormalisieren.

Aus den zuvor berechneten Skalarprodukten geht bereits hervor, dass und ist. Reicht es daher aus die ersten beiden Schritte von Gram-Schmidt durchzuführen? Also zu normalisieren, zu berechnen und anschließend zu normalisieren?

Ich habe das für die Übungsaufgabe so gerechnet und anschließend die Skalarprodukte und gebildet, um zu prüfen, ob der so berechnete Vektor dann zu den beiden anderen orthogonal ist und es kommt hin. Meine Ergebnisse stimmen auch mit der Lösung überein, nur das ich über einen etwas anderen Weg an sie gelangt bin.

Meine abschließende Frage ist daher, ob das allgemein so gültig ist oder es sich hier um Zufall handelt?

Ich wünsche euch ein schönes Weihnachtsfest und einen guten Rutsch ins neue Jahr!

Viele Grüße

LaTeX-Tags ergänzt. Steffen
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalität und lineare Unabhängigkeit
Zitat:
Original von Conundraah
Aus den zuvor berechneten Skalarprodukten geht bereits hervor, dass und ist. Reicht es daher aus die ersten beiden Schritte von Gram-Schmidt durchzuführen?

Ja, tatsächlich. Wobei du zur Orthonormalisierung natürlich auch noch normieren müsstest.
Ihr habt ja sicher mal aufgeschrieben, dass das Gram-Schmidt-Verfahren den Spann der ersten Vektoren jeweils unverändert lässt.

Oder direkter: Rechne doch mal aus.
Conundraah Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Orthogonalität und lineare Unabhängigkeit
Danke für deine Antwort. Oh, stimmt. Das habe ich vergessen zu erwähnen, dass man den dritten Vektor noch normieren muss. :-)

Hm, was den Spann betrifft, bin ich mir nicht sicher, ob das so bei uns im Skript steht aber ich schaue nochmal nach.

Ich wünsche ein frohes Weihnachtsfest und einen guten Rutsch ins neue Jahr!
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