Bild einer Funktion auf Menge K bestimmen

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23.12.2014, 17:48	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Bild einer Funktion auf Menge K bestimmen Meine Frage: Hallo, bestimme das Bild f(K) der zweiparametrigen Funktion f(x,y) = xy /(x^2 + y^2 - xy) auf der Menge K = {(x,y) aus IR^2 : 0 < x < 2 ; 0 < y < 2} Meine Ideen: Jede Kugel ist ein Sterngebiet. Also ist K in dem obigen Beispiel ein Sterngebiet. K ist außerdem zusammenhängend (das wurde alles bereits bewiesen!). f ist eine stetige Funktion (muss ich das zeigen, oder ist das klar???) und da K zshg. ist, muss auch das Bild f(K) zshg. sein (gemäß eines Satzes, der ebenfalls bewiesen wurde!). Damit ist f(K) also ein Intervall (jede zshg. Menge ist ein Intervall). f ist stetig, da ich f geeignet umformen kann: $\begin{eqnarray} \frac{1}{\frac{(x-y)^2+xy}{xy} } \end{eqnarray}$ Da x,y > 0 gibt es keine isol. Sing. in IR^2 . Der im Nenner der zweiten Umformung entstehende Quotient ist größer oder gleich Null. Das heißt, dass sup f(x,y) = 1 , oder??? Das Supremum bzw. Maximum existiert auch nach dem sogenannten Extremwertsatz für kompakte Mengen. Ich benötige also nur noch das Infimum von f(K), welches auch kompakt sien muss, da f stetig. Nur wie bestimme ich das Minimum bzw. Infimum von f(K) ??? Ich muss irgendwie Zähler- und Nennerfunktion geeignet abschätzen, allerdings habe ich keine Ahnung wie das funktionieren soll. P.S.: Die zweite Umformung lautet: 1 / ((x-y)^2 /xy) +1) Vielen Dank Widderchen
23.12.2014, 18:35	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Menge K ist doch gar nicht kompakt. Und ich würde erwarten, dass man Stetigkeit zeigt. Dafür ist es ja nur erforderlich, dass der Nenner keine Nullstelle besitzt und das sieht man ja schnell an der Abschätzung $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 \geq 2\|xy\| \end{eqnarray}$ . Allerdings ist deine Begründung auch richtig (im Prinzip auch die gleiche). Deine Abschätzung zeigt nur $\begin{eqnarray} \sup f \leq 1 \end{eqnarray}$ . Allerdings kann man leicht Paare x,y finden, so dass f(x,y) = 1. Das Infimum sollte 0 sein. Dass es nicht kleiner als 0 ist, ist leicht zu sehen und für die andere findet man geeignete Folgen (Zähler gegen 0 aber nicht der Nenner).
23.12.2014, 19:09	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo IFindU, Stimmt du hast recht, K ist nicht kompakt. Mein Dozent hatte in diesem Zusammenhang nämlich den Extremwertsatz für kompakte Mengen im IR^n und stetige Funktionen f: K -> IR formuliert und bewiesen. Wie darf ich denn bei nicht kompakten Mengen K begründen, dass ein Infimum und Supremum vorliegt?? Oder ist dies nicht immer der Fall??? Obwohl, das sind offene Intervalle, also darf ich einfach ein Infinium bzw. Supremum wählen, dass überhaupt nicht in diesem Intervall liegt, oder verstehe ich das falsch?? Wie kann ich mein Supremum sonst wählen?? sup f < 2 ??? Stimmt, für x = y = 1 erhalte ich tatsächlich f(1,1) = 1 . Inf f = 0 , ok , da f auch nur Werte größer 0 annimmt, dann ist das Intervall von f(K) also (0,2) , richtig??? Allerdings verstehe ich das mit der Folge noch nicht, die ich derart wählen kann, sodass der Zähler gegen 0 konvergiert, aber nicht der Nenner. Viele Grüße Widderchen
23.12.2014, 19:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Supremum und Infimum existieren in $\begin{eqnarray} [-\infty, \infty] \end{eqnarray}$ immer (d.h. wenn man die beiden Unendlich zulässt). Die Frage die sich stellt ist höchstens ob die Werte angenommen werden, d.h. sogar Maximum bzw. Minimum vorliegt. Derweil "wählst" du das Supremum und Infimum nicht. Die Menge K und die Funktion f bestimmen beide Werte eindeutig! Das Supremum ist die kleinste (!) obere Schranke und das Infimum die größte (!) untere Schranke. D.h. was man leicht sehen kann ist, dass $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ eine obere Schranke ist, und das $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ eine untere ist. ABER, gibt es eine kleinere obere Schranke bzw. größere untere Schranke? Die erste Frage hast du bereits beantwortet: Da du den Wert 1 wirklich erwischt (übrigens gibt es viele Beispiele, da f(x,x) = 1 für alle x), gibt es keine kleinere obere Schranke. Nun ist es aber noch möglich, dass die Funktion nie kleiner als z.B. 1/2 ist, was deutlich größer als 0 ist. D.h. du musst noch zeigen, dass du für jedes $\begin{eqnarray} \epsilon > 0 \end{eqnarray}$ ein Paar (x,y) findest s.d. $\begin{eqnarray} f(x,y) < \epsilon \end{eqnarray}$ . Wenn du Glück hättest, und ein Paar mit f(x,y) = 0 findest, hast du es natürlich für alle Epsilon. Allerdings hattest du das Glück schon beim Maximum, fürchte ist aufgebraucht
23.12.2014, 20:18	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, offenbar gibt es kein Paar (x,y) x > 0 , y > 0 sodass xy = 0 , soweit verstehe ich das. In der Vorlesung hatte mein Dozent eine direkte Abschätzung für die Beispielfunktion f(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 / (x+y+z)^2 gefunden: x^2 + y^2 + z^2 > (1/3)* (x+y+z)^2 und daraus durch Umstellen gefolgert, dass min f = 1/3 Mit sup f = 1 hatte er dann das Intervall [1/3 , 1 ) = f(K) ermittelt Er hatte also einfach eine Zahl k gesucht, sodass die Zählerfunktion größer oder gleich der Nennerfunktion ist. In diesem Beispiel soll ich also ein k finden, sodass xy > k *(x^2 + y^2 - xy) gilt: Dann erhalte ich f(x,y) > k und damit min f = k Ich behaupte mal, dass k = 1/3 diese Ungleichung erfüllt. Durch Umstellen erhalte ich dann die Ungleichung 4xy > x^2 + y^2 , aber irgendwie hilft mir das nichts.
23.12.2014, 20:24	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du kannst es natürlich mit deinem k versuchen, allerdings habe ich dir schon gesagt, dass das Infimum 0 ist und wie du es zeigen kannst.
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23.12.2014, 20:39	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Also lautet das Intervall des Bildes von f f(K) = (0, 1] wobei f(x,y) = 1 der maximale Wert ist, der angenommen werden kann. Es gibt kene Funktionswerte kleiner als 0 , da x,y > 0 nach Voraussetzung und da die von dir genannte Abschätzung gilt : x^2 + y^2 > 2/xy/ , was im Grunde die binomische Formel (x - y)^2 > 0 ist . Sonst weiß ich nicht weiter.
23.12.2014, 20:41	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie bereits gesagt musst du geeignete Paare (x,y) finden, so dass f beliebig klein wird. Allgemeine Abschätzungen können dir nicht helfen, da die Funktion nicht überall klein ist.
23.12.2014, 20:52	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich verstehe nicht, wie ich diese Paare finden soll.... Dein Lösungsvorschlag bringt mich nicht weiter.
23.12.2014, 20:58	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir wollen, dass der Zähler gegen 0 geht ohne dass der Nenner gegen 0 geht. D.h. xy muss gegen 0 gehen, während $\begin{eqnarray} x^2 + y^2 - xy = ( x - y)^2 + xy \end{eqnarray}$ nicht gegen geht. Da wir aber wollen dass xy gegen 0 geht, darf also $\begin{eqnarray} (x - y)^2 \end{eqnarray}$ nicht klein sein. Also: x*y klein, aber (x-y)^2 gross sein. Jetzt?
23.12.2014, 21:17	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Also, damit ich das richtig verstehe: Um zu zeigen, dass das Infimum 0 ist, betrachtest du jetzt das Konvergenzverhalten von f für kleine x und y , also lässt du x , y -> 0 laufen. Der Zähler verschwindet dann. Im Nenner bleibt dann noch (x - y)^2 , aber das verschwindet doch auch und damit divergiert diese Funktion doch für x,y -> 0 . Warum muss (x - y)^2 groß sein?? Das kann ich nicht nachvollziehen.
23.12.2014, 21:24	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du willst nur, dass x*y klein ist. Dafür müssen nicht beide gegen 0 gehen. Wenn die es tun, dann verschwindet auch (x-y)^2. Man könnte jetzt hoffen, dass man es so geschickt wählen kann dass es immer noch stimmt (sollte es auch), alternativ lässt man eine der beiden Variablen nicht gegen 0 laufen.
23.12.2014, 21:32	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann bleibt also 1 / (x^2 + y^2) übrig bei klein gewähltem x*y ???? Und was muss ich nun damit anstellen?
23.12.2014, 21:41	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Da xy klein ist, muss eins der beiden klein sein. Sagen wir x ist klein. Da K beschränkt ist, ist es egal was y ist, xy ist immer klein, unabhängig davon wie wir y wählen. Dann ist der Nenner effektiv so groß wie y^2. Jetzt müssen wir also noch y wählen, s.d. y^2 nicht klein ist. Effektiv wählen wir also $\begin{eqnarray} x_n = 1/n, y_n = 1 \end{eqnarray}$ und damit können wir nachrechnen, dass $\begin{eqnarray} (x_n, y_n) \in K \end{eqnarray}$ für alle n und $\begin{eqnarray} f(x_n, y_n) \to 0 \end{eqnarray}$ . Damit kommt f in K beliebig nahe an die 0 dran.
23.12.2014, 21:56	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann diese Beweisidee nachvollziehen, allerdings wäre ich nicht eigenständig auf solch eine gekommen. Und da ich mit der Konstruktion dieser Folge beliebig nah an die 0 komme, ist diese auch das Infimum von f(K) , also auch die untere Intervallgrenze. Diese Beweisrichtung war aber deswegen erforderlich, weil (0,0) eine kritische Grenze von f ist, oder??? Ist das Problem damit geöst?? Oder muss ich noch etwas zeigen? Also ist doch (0,1] = f(K) ?
23.12.2014, 21:59	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Was heißt "(0,0) ist eine kritische Grenze"? Wir haben sup und inf bestimmt, und zusammen damit, dass du weißt dass das Bild ein Intervall ist, bist du fertig.
23.12.2014, 22:04	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Mit der Aussage (x,y) = (0,0) ist eine kritische Grenze, meine ich, dass f an dieser Stelle nicht wohldefiniert ist. Vielen Dank für deine Hilfe.
23.12.2014, 22:05	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Dort ist sie gar nicht definiert. Sie lässt sich aber in (0,0) nicht stetig fortsetzen.
23.12.2014, 22:12	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Frage noch: War das Supremum nun 1 oder 2 ? Der Maximalwert liegt bei 1.
23.12.2014, 22:19	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es ein Maximum gibt, dann ist es immer das Supremum. Du hast gezeigt, dass 1 und 2 eine obere Schranke ist. Da aber 1 < 2 ist, kann 2 nicht das Supremum sein.

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