Polynome Landau

23.12.2014, 23:19	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynome Landau Seien $\begin{eqnarray} f,g:]-\epsilon,\epsilon[ -> \mathbb{R}, (\epsilon>0) \end{eqnarray}$ , Funktionen mit $\begin{eqnarray} f(x)=a_0 +a_1 x+..+a_nx^n + o(\|x\|^n)<br /> g(x)= b_0 +b_1 x+..+b_nx^n + o(\|x\|^n) \end{eqnarray}$ für x-> 0 Man zeige $\begin{eqnarray} f(x)g(x)=c_0 +c_1 x+..+c_nx^n + o(\|x\|^n) \end{eqnarray}$ für x -> 0 wobei $\begin{eqnarray} c_k = \sum_{i=0}^k a_i b_{k-i} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: Hallo, ZZ.: $\begin{eqnarray} \frac{f(x)g(x)-c_0-c_1 x -..-c_nx^n}{\|x\|^n} -> 0 \end{eqnarray}$ für x->0 bzw. $\begin{eqnarray} \forall \epsilon>0 \exists \delta>0: \|f(x)g(x)-c_0-c_1 x -..-c_nx^n\| <= \epsilon \|x\|^n \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|x\|<\delta \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)g(x)-c_0-c_1 x -..-c_nx^n= f(x)(o(\|x\|^n)) + g(x)(o(\|x\|^n)) \end{eqnarray}$ Jetzt muss ich doch irgendwie die Terme $\begin{eqnarray} (a_i x^i) o(\|x\|^n) \end{eqnarray}$ für 0<=i <= n die dabei entstehen umschreiben können mithilfe der Landau-Schreibweise. Es gilt doch: $\begin{eqnarray} a_i x^i o(\|x\|^n) = x^i o(\|x\|^n) \end{eqnarray}$ Wenn $\begin{eqnarray} f \in x^i o(\|x\|^n) \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} f \in o(\|x^{i+n}\|) \end{eqnarray}$ da: $\begin{eqnarray} f \in x^i o(\|x\|^n) <=> \exists g \in o(\|x\|^n): f(x)=x^i g(x)<br /> \forall \epsilon>0:\|f(x)\| = \|x^i g(x)\| = \|x^i\| \|g(x)\|\le \|x^i\| * \epsilon \|x\|^n = \|x^{i+n}\| \epsilon \end{eqnarray*}$ für x in einer Umgebung von 0. Aber gilt auch die Umkehrung damit ich das umschreiben kann??
23.12.2014, 23:51	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Polynome Landau Bevor ich ins Bett gehe: Definiere $\begin{eqnarray} p(x) = a_0 + a_1 x + \dots + a_n x^n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} q(x) = b_0 + b_1 + \dots + b_n x^n \end{eqnarray}$ . Dann gibt es eine allgemeine Formel für $\begin{eqnarray} p \cdot q \end{eqnarray}$ , siehe Cauchy Produkt. Damit kriegst du bereits die zu zeigende Aussage für den Spezialfall. Dann bleibt nur noch $\begin{eqnarray} f\cdot g = ( p + o(\|x\|^n) ) \cdot ( q + o(\|x\|^n)) \end{eqnarray}$ "auszumultiplizieren" (das hatten wir ja eben schon )
24.12.2014, 12:13	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Morgen Mal der Anfang meiner Ausarbeitung: -) Speziallfall: $\begin{eqnarray} f(x)=a_0 +a_1 x+..+a_nx^n + 0<br /> g(x)= b_0 +b_1 x+..+b_nx^n +0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)g(x)= \sum_{k=0}^n c_k x^k \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} c_k = \sum_{i=0}^k a_i b_{k-i} \end{eqnarray}$ => Cauchy-produkt -)Allgemein: ZZ.: $\begin{eqnarray} \forall \epsilon>0 \exists \delta>0: \|f(x)g(x)-c_0-c_1 x -..-c_nx^n\| <= \epsilon \|x\|^n \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|x\|<\delta \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} f(x)g(x)-c_0-c_1 x -..-c_nx^n= f(x)(o(\|x\|^n)) + g(x)(o(\|x\|^n)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(a_0 +a_1 x+..+a_nx^n + o(\|x\|^n))(o(\|x\|^n)) +(b_0 +b_1 x+..+b_nx^n + o(\|x\|^n))(o(\|x\|^n)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =a_0 o(\|x\|^n) +a_1 x o(\|x\|^n) +..+a_nx^n o(\|x\|^n) +b_0 o(\|x\|^n) +b_1 x o(\|x\|^n) +..+b_nx^n o(\|x\|^n) + 2[o(\|x\|^n)o(\|x\|^n)] \end{eqnarray}$ ZZ.: $\begin{eqnarray} o(\|x\|^n)o(\|x\|^n) = o(\|x\|^{2n}) \end{eqnarray}$ ZZ.: $\begin{eqnarray} o(\|x\|^{2n})+ o(\|x\|^{2n})= o(\|x\|^{2n}) \end{eqnarray}$ Das mache ich besser allgemein, wobei ich bei 1) Probleme habe 1)ZZ $\begin{eqnarray} o(f(x))o(g(x) )= o(f(x)g(x)) \end{eqnarray}$ 2)ZZ $\begin{eqnarray} ko(f(x))= o(f(x)) \end{eqnarray}$ für k nicht gleich 0 1) Wenn $\begin{eqnarray} h(x) \in o(f(x)) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} j(x) \in o(g(x)) \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} lim_{x->0} \frac{h(x)}{f(x)}=0 \end{eqnarray}$ sowie $\begin{eqnarray} lim_{x->0} \frac{j(x)}{g(x)}=0 \end{eqnarray}$ das impliziert $\begin{eqnarray} 0=00= lim_{x->0} \frac{h(x)}{f(x)} * \frac{j(x)}{g(x)}=\frac{h(x)j(x)}{f((x)g(x)}0 \Rightarrow h(x)j(x) \in o(f(x)g(x)) \end{eqnarray}$ Umgekehrt $\begin{eqnarray} h \in o(f(x)g(x)) \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} lim_{x->0} \frac{h(x)}{f(x)g(x)}=0 \end{eqnarray}$ Hier stecke ich bei der Umkehrung, beim Finden der beiden Funktionen. Ich hab hier versucht analog zu arbeiten mit: $\begin{eqnarray} g_1(x) = \text{sgn(h(x))} \sqrt{ \|h(x) \| } \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} g_2(x) = \sqrt{ \|h(x) \| } \end{eqnarray}$ aber da weiß ich nicht ob gilt $\begin{eqnarray} g_1(x) \in o(f(x)), g_2 \in o(g(x)) \end{eqnarray}$ 2)Wenn $\begin{eqnarray} h \in o(f(x)) \end{eqnarray}$ , dann $\begin{eqnarray} lim_{x->0} \frac{k h(x)}{f(x)}=k lim_{x->0} \frac{h(x)}{f(x)}=k0 \Rightarrow k h(x) \in o(f(x)) \end{eqnarray}$ Umgekehrt: Wenn $\begin{eqnarray} h \in o(f(x)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} lim_{x->0} \frac{\frac{h(x)}{k}}{f(x)}=\frac{1}{k} lim_{x->0} \frac{h(x)}{f(x)}=\frac{1}{k}0 \Rightarrow \frac{h(x)}{k} \in o(f(x)) \end{eqnarray*}$
24.12.2014, 14:13	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Richtig wäre $\begin{eqnarray} f(x) \cdot g(x) = \sum_{k = 0}^{2n} c_k x^k \end{eqnarray}$ . Wenn du 2 Polynome vom Grad n nimmst und multiplizierst, muss das resultierende Polynom natürlich Grad 2n haben. Damit bist du mit dem einfachen Fall noch nicht ganz fertig. Du musst zeigen, dass $\begin{eqnarray} \sum_{k = n+1}^{2n} c_k x^k \in o(\|x\|^n) \end{eqnarray}$ ist -- was aber zum Glück offensichtlich ist. Ich überlege gerade auch an einer schönen Aufteilung um 1) zu zeigen. Ich editiere es, wenn ich was schönes gefunden habe. Schön wäre die Aufteilung $\begin{eqnarray} \frac { h } g \in o(f) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac h f \in o(g) \end{eqnarray}$ . Leider ist das Produkt $\begin{eqnarray} \frac { h^2 } {fg} \end{eqnarray}$ . Statt h mit der Wurzel von h zu argumentieren, führt dazu, dass die einzelnen Faktoren nicht in den richtigen Räumen liegen. Man muss das h "gewichtet" aufteilen. Allerdings sollte bereits die Inklusion reichen, die du gezeigt hast, wenigstens um den Beweis zu beenden.
25.12.2014, 13:01	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Achja, mit dem 2n hast du natürlich recht, da war ich anscheinend schon gar nicht mehr bei der Sache sondern bei den Vorbereitungen für das Essen am Weihnachtsabend ;P. $\begin{eqnarray} \sum_{k = n+1}^{2n} c_k x^k \in o(\|x\|^n) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x^k = o(\|x\|^n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n+1 <= k <= 2n \end{eqnarray}$ da $\begin{eqnarray} c o(\|x\|^n) = o(\|x\|^n) \end{eqnarray}$ gilt folgt $\begin{eqnarray} c_k x^k \in o(\|x\|^n) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n+1 <= k <= 2n \end{eqnarray}$ Da also alle Summanden der Reihe in $\begin{eqnarray} o(\|x\|^n) \end{eqnarray}$ er gibt sich mit der obigen Regel : $\begin{eqnarray} \sum_{k = n+1}^{2n} c_k x^k \in o(\|x\|^n) \end{eqnarray}$ Was ich noch zeigen muss bevor ich den Beweis nochmal angehe: $\begin{eqnarray} x^b o(x^a)= o(x^{a+b}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f \in o(x^a), \|x^b f(x)\| <= \|x^b\| \|f(x)\| <= \|x^b\| M \|x^a\|= M \|x^{a+b}\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \supseteq \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f \in O(x^{a+b}), \|\frac{f(x)}{x^b}\| <= \frac{M\|x^{a+b}\|}{\|x^b\|} = M \|x^a\| \end{eqnarray}$ Wir haben nun gezeigt: (1) $\begin{eqnarray} x^b o(x^a)= o(x^{a+b}) \end{eqnarray}$ (2) $\begin{eqnarray} o(f(x))o(g(x) )\subseteq o(f(x)g(x)) \end{eqnarray}$ (3) $\begin{eqnarray} ko(f(x))= o(f(x)) \end{eqnarray}$ für k nicht gleich 0 Beweisführung: $\begin{eqnarray} f(x)g(x)-c_0-c_1 x -..-c_nx^n= f(x)(o(\|x\|^n)) + g(x)(o(\|x\|^n)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =(a_0 +a_1 x+..+a_nx^n + o(\|x\|^n))(o(\|x\|^n)) +(b_0 +b_1 x+..+b_nx^n + o(\|x\|^n))(o(\|x\|^n)) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =a_0 o(\|x\|^n) +a_1 x o(\|x\|^n) +..+a_nx^n o(\|x\|^n) +b_0 o(\|x\|^n) +b_1 x o(\|x\|^n) +..+b_nx^n o(\|x\|^n) + 2[o(\|x\|^n)o(\|x\|^n)] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 2[o(\|x\|^n) + o(\|x\|^{n+1}) + ...+o(\|x\|^{2n})] + o(\|x\|^{n})* o(\|x\|^{n}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = o(\|x\|^n) + o(\|x\|^{n+1}) + ...+o(\|x\|^{2n}) + o(\|x\|^{n})* o(\|x\|^{n}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \subseteq o(\|x\|^n) + o(\|x\|^{n+1}) + ...+o(\|x\|^{2n}) + o(\|x\|^{2n}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =o(\|x\|^n) + o(\|x\|^{n+1}) + ...+o(\|x\|^{2n}) \end{eqnarray}$ Nun wende ich an: $\begin{eqnarray} f \in o(\|x\|^{n+i}) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 0<= i <= n \end{eqnarray}$ .Dann ist auch $\begin{eqnarray} f \in o(\|x\|^{n}) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} x->0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} o(\|x\|^n) + o(\|x\|^{n+1}) + ...+o(\|x\|^{2n}) \subseteq n* o(\|x^n\|)= o(\|x^n\|) \end{eqnarray*}$ Für Korrektur/Tipps bin ich dankbar
25.12.2014, 15:39	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die oberen Inklusionen ( o(x^a) ) stimmen nicht. Du zeigst stattdessen die Aussagen für O(x^a). Ansonsten sieht es gut aus, aber es geht viel kürzer, wenn du $\begin{eqnarray} f = p + h_1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} = q + h_2 \end{eqnarray}$ schreibst mit $\begin{eqnarray} h_1, h_2 \in o(\|x\|^n) \end{eqnarray}$ . Dann ist zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} f g - pq \in o(\|x\|^n) \end{eqnarray}$ ist. Also $\begin{eqnarray} \frac { f(x)g(x) - p(x)q(x) } { \|x\|^n } \to 0 \end{eqnarray}$ . Das ist leicht zu sehen, da $\begin{eqnarray} \frac { f(x)g(x) - p(x)q(x) } { \|x\|^n } = \frac { (p(x) + h_1(x)) \cdot (q(x) + h_2(x)) - p(x)q(x) } { \|x\|^n } = \frac { h_1(x)q(x) + h_2(x) p(x) + h_1(x) h_2(x) } { \|x\|^n }= \frac { h_1(x)}{ \|x\|^n } q(x)+ \frac{h_2(x)}{ \|x\|^n } p(x)+ \frac{h_1(x)}{ \|x\|^n } h_2(x) \to 0. \end{eqnarray}$
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25.12.2014, 16:31	StrunzMagi	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hasse und liebe es, wenn man sich Tage mit einer Aufgabe beschäftigt und dann in der Übungsstunde bzw. jetzt von dir, dann so eine einfache Lösung präsentiert bekommt. Einerseits denkt man sich, wie blöd man doch ist, das nicht selbst gesehen zu haben und andererseits ist man froh einiges an dem Bsp gelernt zu haben! Großes Danke! Den Beweis für $\begin{eqnarray} x^b o(x^a)= o(x^{a+b}) \end{eqnarray}$ mit klein Oh, kann man doch genauso führen wie den mit groß Oh. $\begin{eqnarray} \subseteq \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f \in o(x^a): \forall \epsilon>0 \exists \delta>0: \|f(x)\|<= \epsilon \|x^a\| \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|x\|<\delta \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|x^b f(x)\| <= \|x^b\| \|f(x)\| <= \|x^b\| \epsilon \|x^a\|= \epsilon \|x^{a+b}\| \forall \epsilon>0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \|x\|<\delta \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow x^b f(x) \in o(x^{a+b}) \end{eqnarray}$
25.12.2014, 17:05	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne. Und ja, das geht problemlos durch -- aber dennoch muss man es machen

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