Orthogonale Matrizen Länge

24.12.2014, 13:11

voodoo666

Orthogonale Matrizen Länge

Hi!
[attach]36543[/attach]
Die Parametrisierung aus i) kriege ich nicht zusammen.
Aufgabe ii) konnte ich mit dem Hinweis relativ leicht zeigen.
Aufgabe iii) kann ich erst lösen, wenn ich die i) habe, zumindest vermute ich das!

Wie könnte man auf diese Parametrisierung kommen? Ich mein theoretisch habe ich ja durch die Bedingung der Orthogonalität und Determinante = 1 ein nichtlineares Gleichungssystem. Aber ich komme da auf keinen grünen Zweig was das angeht.

Jemand ne Idee? Ist das die richtige Herangehensweise?
Frohes Fest!

25.12.2014, 19:09

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RE: Orthogonale Matrizen Länge
Wie habt ihr denn in der Übung gezeigt, dass $\begin{eqnarray*} {O}(2) \end{eqnarray*}$ eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit ist?

Bei i) führen $\begin{eqnarray*} Q^T=Q^{-1} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \det(Q)=1 \end{eqnarray*}$ zu einer Kreisgleichung, deren Lösungmenge man mit periodischen Funktionen parametrisieren kann.

27.12.2014, 14:49

voodoo666

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RE: Orthogonale Matrizen Länge
Danke für die fixe Antwort.
Mein Horizont war leider etwas beschränkt bei der Lösung dieses Gleichungssystems, nun habe ich jedoch eine Parametrisierung mittels sin und cos gefunden.
Noch eine abschliessende Frage zu iii)!
Ich dachte mir, da SO(2) und O(2)- disjunkt sind und vereinigt gerade O(2) ergeben könnte ich das Integral zur Volumenbestimmung einfach in 2 Integrale aufteilen und dann wie gewohnt über die Norm der Ableitung meiner jeweiligen Kurven integrieren. Liege ich da richtig?

Als Ergebnis würde ich dann bekommen:
$\begin{eqnarray*} Vol_{1}(O(2)) = 4*\sqrt{2} * \pi \end{eqnarray*}$

Grüße und guten Rutsch.
VooDoo666

27.12.2014, 14:57

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RE: Orthogonale Matrizen Länge
So hätte ich die iii) jedenfalls auch gelöst.
Mich würde noch immer interessieren, wie ihr in der Übung gezeigt habt, dass $\begin{eqnarray*} {O}(2) \end{eqnarray*}$ eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit ist, ohne diese Parametrisierung zu verwenden.

02.01.2015, 11:56

voodoo666

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RE: Orthogonale Matrizen Länge

Zitat:

Original von URL
So hätte ich die iii) jedenfalls auch gelöst.
Mich würde noch immer interessieren, wie ihr in der Übung gezeigt habt, dass $\begin{eqnarray*} {O}(2) \end{eqnarray*}$ eine eindimensionale Untermannigfaltigkeit ist, ohne diese Parametrisierung zu verwenden.

Sorry für die späte Antwort!
Es wurde mittels der Darstellung durch Gleichungen gezeigt! Dabei wurden lediglich die Gleichungen die man erhält wenn man Determinante berechnet bzw Matrizen multripliziert benutzt.

Frohes Neues!

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