Vollständige Induktion - Vereinfachung

24.12.2014, 13:23

Shenanigator

Vollständige Induktion - Vereinfachung

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{k*(k+1)} = \frac{n}{n+1} \end{eqnarray*}$

Soweit so gut, das ist meine Induktion. Ich bin damit beim Induktionsschritt hängen geblieben, bei dem meines besten Wissen nach diese Formel herauskommt.

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{n+1} + \frac{1}{(n+1)*(n+2)} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Entsprechend der Induktions"regel" müsste, ausgehend von der Ursprungsformel $\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n+2} \end{eqnarray*}$ herauskommen. Damit wäre dann bewiesen, dass die Induktion korrekt ist.

Ich habe jedoch keine Ahnung wie genau man nun darauf kommen soll. Wolframalpha gibt mir das Ergebnis aus, jedoch keinen Rechenweg. Ich habe viele Rumrechnungen probiert, jedoch erreiche ich nie mein Ziel :< Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen.

24.12.2014, 13:33

Bjoern1982

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Man kann 2 Brüche nur dann addieren, wenn sie denselben Nenner haben.
Was könnte man denn hier tun, damit der erste Nenner dem zweiten Nenner entspricht ?

24.12.2014, 14:04

Shenanigator

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Normalerweise würde ich den Bruch zuersteinmal auf den gleichen Nenner bringen, in diesem Fall also Nenner 1 * Zähler 2 und Nenner 2 * Zähler 1. Dabei sollte dann doch herauskommen:

$\begin{eqnarray*} \frac{n*(n+1)*(n+2)}{((n+1)^2*(n+2)} + \frac{n+1}{((n+1)^2*(n+2)} \end{eqnarray*}$

Zusammengefasst:

$\begin{eqnarray*} \frac{n*(n+1)*(n+2)+(n+1)}{((n+1)^2*(n+2)} \end{eqnarray*}$

Doch was nun? Kürzen? Vermtulich nicht, da es ein Summe ist im Zähler.

Ausrechnen? Dabei kam ich dann schließlich auf diesen Bruch:

$\begin{eqnarray*} \frac{n^3+3n^2+3n+1}{n^3+4n^2+5n+2} \end{eqnarray*}$

Ehrlich gesagt weiß ich nun auch nicht mehr weiter. Möglich das schon die Erweirtung des Bruches gescheitert ist und es deshalb nicht funktioniert smile

24.12.2014, 14:18

Bjoern1982

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@ Goish

Ich schaffe das schon alleine, danke. Wink

@ Shenanigator

Ist zwar etwas umständlich, wie du es machst, aber machen wir mal mit deinem Weg weiter:

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \frac{n*(n+1)*(n+2)+(n+1)}{((n+1)^2*(n+2)} \end{eqnarray*}$

Doch was nun? Kürzen? Vermtulich nicht, da es ein Summe ist im Zähler.

Noch nicht, aber klammer doch mal (n+1) im Zähler aus.
Damit entstehen dann FAKTOREN.
Beachte zudem noch eine binomische Formel für den Term in der Klammer.
Und wenn das Ziel kürzen ist, bloß nicht Klammern auflösen. Augenzwinkern

24.12.2014, 14:47

Shenanigator

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Was wäre denn der weniger umständliche Weg?

Landet bei mir schließlich bei:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)*(n*(n+2))+1}{(n+1)^2 * (n+2)} \end{eqnarray*}$

Geht mir grade nicht in den Kopf was ich damit nun tun soll oder wo da eine binomische ist (außer im Nenner) Es ist doch Weihnachten damnit!

24.12.2014, 14:53

Bjoern1982

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Da fehlt noch eine Klammer. Wir haben also:

$\begin{eqnarray*} \frac{(n+1)*(n*(n+2)+1)}{(n+1)^2 * (n+2)}=\frac{(n+1)(n^2+2n+1)}{(n+1)^2(n+2)} \end{eqnarray*}$

Jetzt denke bei (n²+2n+1) mal an eine binomische Formel und danach kannst du munter drauf los kürzen.

Weniger umständlich wäre es gewesen, wenn du meinen Eingangsvorschlag beachtet hättest:

Zitat:

Was könnte man denn hier tun, damit der erste Nenner dem zweiten Nenner entspricht ?

24.12.2014, 15:00

Shenanigator

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Ich dachte erweitern wäre das gewesen, was man tut um den Nenner entsprechend zu kriegen?

Außer man kann einfach den ersten Bruch mit n+2 erweitern.... was gehen sollte oder nicht?

$\begin{eqnarray*} \frac{n*(n+2)}{(n+1)(n+2)} + \frac{1}{(n+1)(n+2)} \end{eqnarray*}$

Was dann schlussendlich aufs gleiche rauskäme nur weniger umständlich. Ich glaub ich muss Sprachen studieren Hammer

Ich schiebe es auf die Feiertage!

Vielen Dank für die schnelle Hilfe smile

24.12.2014, 15:03

Bjoern1982

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Genau so meinte ich das zu Anfang. Augenzwinkern

Weißt du zu was man dann n²+2n+1 mittels binomischer Formel machen kann und wie man die Aufgabe damit zu Ende bringt ?

24.12.2014, 15:13

Shenanigator

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Erste binomische, also kommt dabei

$\begin{eqnarray*} (n+1)^2 \end{eqnarray*}$ raus, damit kürzt man dann das (n+1) im Nenner weg, was schließlich zu $\begin{eqnarray*} \frac{n+1}{n+2} \end{eqnarray*}$ führt. Das widerum beweist das die Induktion korrekt ist oder wie auch immer man das nennt. Sie funktioniert jedenfalls, da der nächste Schritt dem Induktionsanfang + 1 entspricht. QED Big Laugh

Danke dafür und frohe Weihnachten. Ich denke ich werd noch häufiger Fragen stellen, jetzt wo die Prüfungen näher rücken, also liest man sich vielleicht bald nochmal!

Edit: Letztenendes scheitert es bei mir immer am offensichtlichen. Schlechte Erfahrungen damit gehabt. Gibt es eine art "Checkliste" die man im Kopf durchgehen sollte wenn man vor sowas sitzt oder muss man es einfach wissen? smile

24.12.2014, 15:18

Bjoern1982

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Prima, dann ist ja nun alles geklärt.
Ich wünsche dir ebenso frohe Weihnachten, viel Erfolg weiterhin bei der Vorbereitung auf die Klausurphase und evtl bis bald hier im Board. Willkommen

Zitat:

Gibt es eine art "Checkliste" die man im Kopf durchgehen sollte wenn man vor sowas sitzt oder muss man es einfach wissen?

Joa kommt immer so auf den jeweiligen Aufgabentyp an.
Bei solchen Induktionsaufgaben mit Summen, kommst du wohl immer mal wieder in die Situation, wo es von Nöten sein wird, gewisse Termumformungen/Fakorisierungen zu benutzen.
Aber wie so oft, je mehr man das übt, umso mehr Routine schleicht sich hoffentlich ein. Freude

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