Radar (Höhenmessung)

25.12.2014, 01:38

Bonheur

Radar (Höhenmessung)

Ein Helikopter fliegt bei schlechter Sicht auf ein eben ansteigendes Bergmassiv zu, welches durch die Punkte $\begin{align*} P(0|5|0) \end{align*}$ , $\begin{align*} Q(5|10|2) \end{align*}$ , $\begin{align*} R(10|10|2) \end{align*}$ beschrieben wird.
Der Helikopter durchfliegt die Punkte $\begin{align*} A(1|6|1) \end{align*}$ und $\begin{align*} B(2|7|1) \end{align*}$ (Angaben in km).

a) Erstellen Sie eine Ebenengleichung des Berghangs.
b) Bestimmen Sie den Abstand des Helikopters in A bzw. B zur Bergebene.
c) 100 m ist der erlaubte Mindestabstand. In welchem Punkt muss der Pilot spätestens auf Steigflug umstellen, um den Hang im Parallelflug zu überwinden ? Wie lautet der neue Kurs ?

Vorab: Bei Aufgabe a) habe ich keine Probleme gehabt, allerdings bei Aufgabe b) verstehe etwas nicht und zwar warum man den Abstand nicht mit der hesseschen Normalform berechnen kann. Und für Aufgabe c) habe ich mir jetzt wirklich noch keine Gedanken gemacht. Eins nach dem anderen. smile

Ideen:

a)
$\begin{align*} E:\overrightarrow{x} = \left(\begin{array}{c}0 \\5 \\0 \end{array} \right)+r \left(\begin{array}{c}5 \\5 \\2 \end{array} \right)+s \left(\begin{array}{c}10 \\5 \\2 \end{array} \right) \end{align*}$

b)

Hier habe ich versucht zwei Methoden zu entwickeln, leider komme ich bei beiden Methoden nicht auf das gleiche Ergebnis.

1.Methode:

1. Geradengleichung aufstellen.

$\begin{align*} g:\overrightarrow{x} =\left(\begin{array}{c}1 \\6 \\1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1 \\-1 \\0 \end{array} \right) \end{align*}$

Abstandsberechnung:

1.1 Gleichsetzung von Ebene und Gerade:

$\begin{align*} \left(\begin{array}{c}1 \\6 \\1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c}1 \\-1 \\0 \end{array} \right)=\left(\begin{array}{c}0 \\5 \\0 \end{array} \right)+r \left(\begin{array}{c}5 \\5 \\2 \end{array} \right)+s \left(\begin{array}{c}10 \\5 \\2 \end{array} \right) \end{align*}$

$\begin{align*} I:1+\lambda=5r+10s \end{align*}$
$\begin{align*} II:6-\lambda=5-5r-5s \end{align*}$
$\begin{align*} III: 1 \, \, \, \, \, \,=2r+2s \end{align*}$

$\begin{align*} \lambda=\frac{7}{2};r=\frac{2}{5};s=\frac{1}{10} \Rightarrow S\left(\frac{9}{2}\Big|\frac{19}{2}\Big| \, 0\right) \end{align*}$

1.2 Abstände berechnen:

$\begin{align*} \Big|\overrightarrow{AS}\Big|=\left| \left(\begin{array}{c}\frac{7}{2} \\\frac{7}{2} \\-1 \end{array} \right) \right|=\sqrt{\left(\frac{7}{2}\right)^{2}+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}+\left(-1\right)^{2}}=\frac{\sqrt{102}}{2} \approx 5.04975 \end{align*}$

$\begin{align*} \left|\overrightarrow{BS}\right|=\left| \left(\begin{array}{c}\frac{3}{2} \\ -\frac{7}{2} \\-1 \end{array} \right) \right|= \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}+\left(-1\right)^{2}}=\frac{\sqrt{62}}{2} \approx 3.937 \end{align*}$

Der Abstand von A nach S 5.04975 km und von B nach S beträgt der Abstand 3.937.

2.Methode:

$\begin{align*} E:\overrightarrow{x}=\left(\begin{array}{c}0 \\5 \\0 \end{array} \right)+r \left(\begin{array}{c}5 \\5 \\2 \end{array} \right)+s \left(\begin{array}{c}10 \\5 \\2 \end{array} \right) \end{align*}$

$\begin{align*} \left(\begin{array}{c}5 \\5 \\2 \end{array} \right) \, \, \times \left(\begin{array}{c}10 \\5 \\2 \end{array} \right)=\left(\begin{array}{c}0 \\10 \\-25 \end{array} \right) \end{align*}$

Normalform der Ebenengleichung:

$\begin{align*} E:\left[\overrightarrow{x} - \left(\begin{array}{c}0 \\5 \\0 \end{array} \right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c}0 \\10 \\-25 \end{array} \right) \end{align*}$

Hessesche Normalform:

$\begin{align*} E: \frac{1}{5 \cdot \sqrt{29}} \cdot \left[\overrightarrow{x} - \left(\begin{array}{c}0 \\5 \\0 \end{array} \right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c}0 \\10 \\-25 \end{array} \right) \end{align*}$

Dann habe ich für $\begin{align*} \overrightarrow{x}= \left(\begin{array}{c}1 \\6 \\1 \end{array} \right) \end{align*}$ eingesetzt.

$\begin{align*} E: \frac{1}{5 \cdot \sqrt{29}} \cdot \left[\left(\begin{array}{c}1 \\6 \\1 \end{array} \right) - \left(\begin{array}{c}0 \\5 \\0 \end{array} \right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c}0 \\10 \\-25 \end{array} \right)= \frac{1}{5 \cdot \sqrt{29}} \cdot \left[ \left(\begin{array}{c}1 \\1 \\1 \end{array} \right)\right] \cdot \left(\begin{array}{c}0 \\10 \\-25 \end{array} \right)=\frac{35}{5 \cdot \sqrt{29}}=1.29987 \end{align*}$

Und für B kommt auch ein anderer Abstand heraus.

Mein einziger Denkansatz wäre, dass man mit der hesseschen Normalform nur Abstände berechnen könnte, die senkrecht zum angegebenen Punkt wären, weil die Ebene ein wenig schräg steht.
Dann würde ich allerdings nicht verstehen, wozu man diese Form benötigt.
Angenommen die Ebene wäre die x-y-Ebene, dann könnte man doch eigentlich jetzt in dem Fall die Höhe an der z-Koordinate herauslesen und man muss nicht unbedingt den Normalenvektor auf die Länge eins normieren und dann den Abstand vom Lotfußpunkt bis zum Punkt berechnen.
Vielleicht habe ich ja auch einen Rechenfehler. unglücklich

Vielen Dank

25.12.2014, 01:58

Bjoern1982

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