Gleichung mit Faltung

25.12.2014, 10:05	Reslav	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung mit Faltung Hallo, kann mir bitte jemand einen Tipp geben wie man Gleichungen der folgenden Art löst. D.h. ich möchte h(t) bestimmen. $\begin{eqnarray} <br /> \sigma(t)h(t) = (1-e^{-t})\cdot \sigma(t)<br /> \end{eqnarray}$ Wobei: $\begin{eqnarray} \sigma(t) \end{eqnarray}$ Sprungfunktion Faltungsoperator Meine Idee Ich habe die Gleichung fourier-transformiert, damit aus der Faltung auf der linken Seite eine Multiplikaion wird, danach konnte ich h(f) bestimmen. Nur benötigte die ganze Rechung mit Faltung und Transformationen mehrere Seiten, ich vermute, dass es hier auch einen einfacheren Weg geben müsste, kann mir bitte jemant einen Tipp geben wie man die gegebene Gleichung am einfachsten löst. Vielen Dank schon mal Reslav.
25.12.2014, 11:17	Helfer (anonym)	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung mit Faltung Frage dich wo derDirac-Stoß einen Anteil zur Faltung bringt.
25.12.2014, 19:10	Reslav	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichung mit Faltung Hallo Helfer, vielen Dank für deinen Tipp, ich ringe nun schon den ganzen Nachmittag mit dieser Faltung ... wenn ich direkt das Faltungsintegral löse so komme ich ich auf Folgendes: $\begin{eqnarray} <br /> \sigma(t) h(t) = (1-e^{-t})\cdot \sigma(t)<br /> \int \limits_{-\infty} ^{\infty} \sigma(\tau) \cdot h(t-\tau) d\tau= (1-e^{-t})\cdot \sigma(t)<br /> \int \limits_{0} ^{\infty} h(t-\tau) d\tau= (1-e^{-t})\cdot \sigma(t)<br /> \end{eqnarray*}$ ... wie soll ich hier den Dirac-Stoss einbauen ... oder sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr. Vielen Dank für einen weiteren Tipp Reslav
26.12.2014, 14:49	Reslav	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich bin immer noch am selben Faltungsintegral am rechnen. Mit dem Tipp habe ich die Gleichung so weit vereinfacht: für t>0 $\begin{eqnarray} <br /> (1) \int \limits _{0} ^{\infty} h(t-\tau) d\tau = (1-e^{-t})<br /> \end{eqnarray}$ Wenn ich die rechte Seite nach t ableite, dann komme ich auf das selbe Resultat wie in meiner anderen Rechnung, d.h. $\begin{eqnarray} <br /> h(t) = e^{-t}<br /> \end{eqnarray}$ Was ich an diesem Vorgehen nicht verstehe ist dies: Wenn ich aus der Gleichung (1) den Integranden bestimmen möchte, so muss ich doch einfach die rechte Seite nach tau ableiten. Dies würde mir dann das folgende Resultat liefern $\begin{eqnarray} <br /> h(t - \tau) = 0<br /> \end{eqnarray}$ Kann mir bitte jemand einen Tipp geben, wie und warum ich aus (1) die Funktion $\begin{eqnarray} h(t) \end{eqnarray}$ bestimmen kann. Oder kann mir jemand sagen, wo mein Fehler liegt. vielen Dank nochmals Reslav
29.12.2014, 12:31	Helfer (anonym)	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich müsste mir deine zwei letzten Schritte nochmal ansehen mich in die Thematik einfuchsen. Aber was ich denke ist man sollte vllt nochmal die Originalgleichung ansehen. Wenn du das transformierst, ist links die Faltung weg und du bekoomst sie rechts. Macht das Sinn? Wenn ich sage 1-e^-t ist f(t) dann würde doch f(t) mal den Dirac-Impuls nur f(0) bedeuten oder? Aber bringt uns das weiter? Wie gesagt ich versuch mal mich ein wenig inzulesen in die Thematik...
29.12.2014, 12:35	Helfer (anonym)	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe bei mir in einer Formelsammlung unter Eigenschaften der Faltung stehen: Eine Funktion s(t) gefaltet mit d(t), dem Dirac-Impuls, entspricht s(t).
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29.12.2014, 12:37	Helfer (anonym)	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry Ich dachte das sei die Dirac Funktion nicht die Sprungfunktion Wer lesen kann...
29.12.2014, 12:55	Helfer (anonym)	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich das so schreibe: $\begin{eqnarray} \sigma (t)h(t) = (1-e^{-t})\sigma (t) = \sigma (t)-e^{-t}\sigma (t) \end{eqnarray}$ und dann Laplacetransformiere bekomme ich die Gleichung: $\begin{eqnarray} \frac{1}{s} H(s)=\frac{1}{s} -\frac{1}{s+1} = \frac{s+1-s}{s(s+1)}=\frac{1}{s(s+1)} \end{eqnarray}$ und dann mal s ist H(s) = 1/(1+s). Transformiere ich das zurück ist h(t)=e^-t für t>0 oder eben e^-tsigma(t)

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