n! und Vollständige Induktion in Ungleichung

25.12.2014, 19:20	blau	Auf diesen Beitrag antworten »
n! und Vollständige Induktion in Ungleichung Hallo, ich soll folgende Ungleichung verifizieren und zwar durch Induktion und Anwendung der Bernoullischen Ungleichung: $\begin{eqnarray} n! \leq 4(\frac{n}{2} )^{n+1} \end{eqnarray}$ für n=1,2.... Der Induktionsanfang, also für n=1 ist erstmal gleich ersichtlich: $\begin{eqnarray} 1! = 4(\frac{1}{2} )^{2} \end{eqnarray}$ Für den Induktionsschritt soll nun gezeigt werden, dass gilt: $\begin{eqnarray} (n+1)! \leq 4(\frac{n+1}{2})^{n+2} \end{eqnarray}$ (Kann man ohne Bedenken beim Induktionsschritt einfach jedes n durch (n+1) ersetzen?) Ich kann dies wie folgt umschreiben: $\begin{eqnarray} (n+1)n! \leq 4(\frac{n+1}{2})^{n}(\frac{n+1}{2} )^{2} \end{eqnarray}$ Aus der Induktionsannahme kann ich nun den linken Term nach oben Abschätzen und habe somit: $\begin{eqnarray} (n+1)n! \leq (n+1)4(\frac{n}{2} )^{n+1} \leq 4(\frac{n+1}{2})^{n}(\frac{n+1}{2} )^{2} \end{eqnarray}$ Nun vergleiche ich also den mittleren mit dem rechten Teil der Ungleichung und vereinfache: $\begin{eqnarray} (\frac{n}{2} )^{n}(\frac{n^{2}+n}{2} ) \leq (\frac{n+1}{2})^{n}(\frac{n+1}{2} )^{2} \end{eqnarray}$ Wie man vielleicht erkennt, weiß ich nicht so Recht, wo ich hin muss. Ist mein Vorgehen soweit zumindest in Ordnung? Vermutlich hätte ich längst mit Hilfe der Bernoullischen Ungleichung abschätzen können, allerdings konnte ich nicht erkennen, wo das geht. (Ich brauche dazu ja einen Term der Form 1+nh oder (1+h)^n) Irgendwelche Ratschläge, wie man sowas am besten angeht? War es blöd, die Induktionsannahme zu benutzen, um den linken Term nach oben abzuschätzen? Ich dachte mir, dass es ganz gut ist, die Fakultät dadurch wegzubekommen, zumal man dann auch problemlos den Faktor 4 wegkürzen kann. Wo kann ich hier Gebrauch von der Bernoullischen Ungleichung machen? Bin für jeden Ratschlag dankbar.
25.12.2014, 22:20	blau	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe nun selber noch eine Weile rumprobiert und dann doch nochmal gegoogelt und bin auf das Ergebnis gestoßen. Kann den Link leider nicht posten, aber wer die Lösung braucht, kann mir ja eine Nachricht schreiben. Es ist dann doch umfangreicher als ich dachte. Trotzdem Danke für jeden, der sich darüber Gedanken gemacht hat!

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