Differentialgeometrie verallgemeinern aber wie? |
| 25.12.2014, 22:47 | Linker | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Differentialgeometrie verallgemeinern aber wie? Hallo, einige Mathematiker kennen die Riemannsche Differentialgeometrie; sie wird vielfältig eingesetzt. Die Riemannsche Geometrie basiert auf Zusammenhängen, die auf glatten Mannigfaltigkeiten formuliert werden können. Mit der Metrik und des Zusammenhanges kann dann die gesamte geometrische Information erhalten werden. Nun gibt es aber viel kompliziertere Mannigfaltigkeiten. Als Gedankenexperiment kann man z.B. Schokolade (am Anfang als glatte Mannigfaltigkeit annehmbar), die anschließend zerkaut wird, betrachten. Dabei passieren folgende Ereignisse im Laufe der Zeit: - Topologieveränderung (nicht geometrisch!); Zusammenhangskomponenten erhöhen sich nach und nach. - Veränderungen der Geometrie an den Rändern der Schokolade. - Die Schokolade wird flüssiger: Dies bedeutet, dass man eine völlig neue geometrische Grundstruktur erhält. Welche Theorie behandelt zusätzlich auch diese geometrieverändernden Effekte? Oder braucht man da nicht viel mehr als Riemannsche Geometrie? Meine Ideen: Zunächst über mich: Ich studiere Mechanik und da habe ich auch schon etwas an Differentialgeometrie gelernt. Desweiteren weiß ich, dass man Differentialgeometrie manchmal auch bei der Materialmodellierung verwendet (Dadurch berücksichtigt man Torsion, Inkompatibilität, etc.) und habe deshalb das Beispiel mit der Schokolade vorgestellt, da es vermutlich noch viel komplizierter sein müsste, diese zu modellieren. Nun meine grundsätzlichen Ideen zur Klärung dieser Frage: Einer der wichtigsten Operationen in der Differentialgeometrie sind Pushforward/Pullback-Operationen. So kann man einen Zusammenhang dadurch erhallten, indem man mit einer Pullback-Operation die gekrümmte und/oder tordierte Mannigfaltigkeit auf eine ideal flache abbildet und dann die gewöhnliche Ableitung bildet (all das zusammen ist die Lie-Ableitung). Den Krümmungstensor leitet man durch die Betrachtung eines infinitesimalen geschlossenen Parallelogramms her etc. Der Paralleltransportoperator ist da auch ganz nützlich. Wenn z.B. irgendein Punkt der Mannigfaltigkeit fehlen würde, kann man denke ich immer noch ein Zusammenhang definieren; er darf nur nicht über den Punkt gehen. Den Riemanntensor evtl. durch Betrachtung eines infinitesimalen Dreiecks (ein Punkt vom Parallelogramm ist nicht definiert) herleiten. Ein Punkt ist eine 0-dimensionale "Anomalie", entsprechend kann man mit höherdimensionalen vorgehen. Ist dieser Ansatz sinnvoll? Wie könnte eine Verallgemeinerung der Riemann-Differentialgeometrie durch diese Zusatzgegebenheiten aussehen? |
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