inhom. DGL mithilfe von Fouriertransformation

26.12.2014, 12:30

lmz

inhom. DGL mithilfe von Fouriertransformation

Hallo zusammen,

ich hänge gerade bei folgender Aufgabe, die möglicherweise in unserer Prüfung auftauchen wird:

Geg: $\begin{eqnarray*} g \in L^{1}, u \in L^{1} \cap C^{2}(~\mathbb R) \end{eqnarray*}$
Zu finden ist eine Lösung zur DGL $\begin{eqnarray*} u''(x) = u(x) - 2g(x) \end{eqnarray*}$ unter Benutzung der Fouriertransformation.

Der Hinweis ist: Ziehe die FT von $\begin{eqnarray*} f(x) = e^{-|x|} \end{eqnarray*}$ in Erwägung.

Für die Fouriertrafo von f(x) bekomme ich $\begin{eqnarray*} \hat f(k) = \frac{2}{1+k^{2}} \end{eqnarray*}$ .

Nun weiß ich nicht was ich mit dieser Fouriertrafo anstellen soll. Erstmal ist ihre Variable k, gut könnte einfach komisch gestellt sein als Aufgabe, aber die Ableitungen:

$\begin{eqnarray*} \frac{d \hat f}{dk} = - \frac{4k}{(1+k^{2})^{2}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{d^{2} \hat f}{(dk)^{2}} = \frac{d}{dk} \left(-\frac{4k}{(1+k^{2})^{2}}\right) = - \frac{4(1+k^{2})^{2} - 16k^{2}(1+k^{2})}{(1+k^{2})^{4}} = \frac{12k^{4}+8k^{2}-4}{(1+k^{2})^{4}} \end{eqnarray*}$

sehen nicht besonders hilfreich aus.

(Zuvor wurde in der Aufgabe gezeigt, dass die Faltung zweier $\begin{eqnarray*} e^{-cx^{2}} \end{eqnarray*}$ artigen Funktionen wieder eine Funktion dieser Art ist, und ihre Fouriertrafo ebenfalls wieder eine Funktion der Art.)

Hat jemand einen Tipp für mich?

Danke im vorraus
LG Lucas

26.12.2014, 12:59

Che Netzer

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RE: inhom. DGL mithilfe von Fouriertransformation
Was erhältst du denn als Fourier-Transformation der Differentialgleichung?

26.12.2014, 13:18

lmz

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RE: inhom. DGL mithilfe von Fouriertransformation

Zitat:

Original von Che Netzer
Was erhältst du denn als Fourier-Transformation der Differentialgleichung?

Haben noch nie eine DGL Fouriertransformiert, aber wenn ichs richtig verstanden hab kommt sowas raus:
$\begin{eqnarray*} -k^{2} \hat u(k) = \hat u(k) - 2 \hat g(k) \end{eqnarray*}$

--> $\begin{eqnarray*} \hat u(k) = \frac{2 \hat g(k)}{1+k^{2}} = \hat f(k) \hat g(k) \end{eqnarray*}$

Und weiter?

(PS: wie würde ich die Fourrierransformation einer DGL sauber aufschreiben?)

26.12.2014, 13:24

Che Netzer

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RE: inhom. DGL mithilfe von Fouriertransformation

Zitat:

Original von lmz
Haben noch nie eine DGL Fouriertransformiert, aber wenn ichs richtig verstanden hab kommt sowas raus:
$\begin{eqnarray*} -k^{2} \hat u(k) = \hat u(k) - 2 \hat g(k) \end{eqnarray*}$

Ja, genau. Eine DGL zu transformieren, heißt natürlich, beide Seiten zu transformieren.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \hat u(k) = \frac{2 \hat g(k)}{1+k^{2}} = \hat f(k) \hat g(k) \end{eqnarray*}$

Und weiter?

Jetzt kommt die Rücktransformation.

Zitat:

(PS: wie würde ich die Fourrierransformation einer DGL sauber aufschreiben?)

Die transformierte Gleichung hast du doch oben schon aufgeschrieben.

26.12.2014, 13:34

lmz

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Oh das wird ja echt schön:

$\begin{eqnarray*} u(x) = \check (\hat f \hat g) = \frac {1}{2\pi} (f *g) (x) \end{eqnarray*}$

wobei $\begin{eqnarray*} \check f \end{eqnarray*}$ meine inverse Fouriertrafo ist und $\begin{eqnarray*} * \end{eqnarray*}$ eine Faltung.

Die vorletzte Identität habe ich davor schon benutzt.

Danke für die Unterstützung!

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