Ableitung / Integral vertauschen (dom. conv./schwartzraum)

26.12.2014, 17:01	lmz	Auf diesen Beitrag antworten »
Ableitung / Integral vertauschen (dom. conv./schwartzraum) Hallo zusammen, ich bin ich einer Aufgabe an einem Punkt, wo ich zweimal eine partielle Ableitung und ein Integral vertauschen möchte. Dazu muss ich sauber argumentieren wieso ich das darf. Hier sind erstmal die Integrale: $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial t} \int_{~\mathbb R} \hat g(k) e^{-ik^{2}t/2}e^{ikx} dk \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\partial ^{2}}{\partial x ^{2}} \int_{~\mathbb R} \hat g(k) e^{-ik^{2}t/2}e^{ikx} dk \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} \hat g(k) \end{eqnarray}$ die Fouriertransformierte von $\begin{eqnarray} g(x) \in S(~\mathbb R) \end{eqnarray}$ ist, und S der Schwartzraum ist. Wie komme ich nun hier am schnellsten vorran? Kann ich argumentieren, dass $\begin{eqnarray} \hat g(k) e^{-ik^{2}t/2} \end{eqnarray}$ im Schwartzraum ist und daher die inverse Fouriertransformierte (das Integral) ebenfalls im Schwarzraum liegt und daraus etwas schließen? Oder muss ich dominierende Konvergenz anwenden und mir einen Grenzwert einer Hilfsfunktion ala $\begin{eqnarray} \frac{F(k+h) - F(k)}{h} \end{eqnarray}$ anstelle der Ableitungen basteln und die dann nach oben abschätzen? Danke für die Hilfe LG Lucas

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