Konstantheit, holomorphe Fkt., elliptische Fkt.

26.12.2014, 18:01	esz	Auf diesen Beitrag antworten »
Konstantheit, holomorphe Fkt., elliptische Fkt. Hey Leute, ich sitze gerade an folgender Aufgabe: Sei $\begin{eqnarray} Q := [0,1] \times [0,i] \end{eqnarray}$ das Einheitsquadrat in $\begin{eqnarray} ~\mathbb C \end{eqnarray}$ . Sei f eine holomorphe Funktion auf einer Umgebung von Q mit folgenden Eigenschaften: $\begin{eqnarray} \forall z \in [0,i]f(z+1)-f(z) \in ~\mathbb R_{~\geq 0} \end{eqnarray}$ , sowie $\begin{eqnarray} \forall z \in [0,1]f(z+i)-f(z) \in ~\mathbb R_{~\geq 0} \end{eqnarray}$ Zu zeigen: f konstant. (in a) wurde gezeigt, dass falls f elliptisch: f konstant <-> f hat keine Pole) Ich habe keine richtige Idee wie ich ansetzen könnte. Tools zum zeigen von Konstantheit, die mir einfallen, wären Maximunsprinzip, Identitätssatz, Liouville. Ich nehme an man sollte allerdings a) verwenden mit irgendeiner elliptischen Funktion, f ist aber nicht elliptisch soweit ich das sehe. Hat jemand einen Tipp? LG emz
26.12.2014, 19:38	esz	Auf diesen Beitrag antworten »
Bin etwas weiter gekommen: Die Aussasgen implizieren, dass für $\begin{eqnarray} z_0 \in [0,1] : Im(f(z_0)) = Im(f(z_0 +i)) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} z_1 \in [0,i] : Im(f(z_1)) = Im(f(z_1 +1)) \end{eqnarray}$ . Als Imaginärteil einer holomorphen Funktion ist die Funktion Im(f(z)) holomorph auf einer Umgebung von Q und ich kann eine elliptische Funktion finden, die die gleichen Werte wie Im(f(z)) auf Q annimmt, nach dem Identitätssatz sind diese dann identisch und nach a) wäre Im(f(z)) dann konstant. Kann ich das so schreiben und was stelle ich mit dem Realteil an?

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