inhomogene DGL 1. Ordnung besondere Form lösbar?

26.12.2014, 20:06	Languste	Auf diesen Beitrag antworten »
inhomogene DGL 1. Ordnung besondere Form lösbar? Meine Frage: Hallo! Ich beiße mir schon geraume Zeit an dieser Aufgabe die Zähne aus: "Mittels Energie-Methode löse man: y''=y^(-1/2), Anfangsbedingungen: y(1)=1, y'(1)=2" Meine Ideen: Mit der Energiemethode kam ich soweit: 0,5*y'²=y^(-1/2)+3 Aber jetzt scheitere ich daran diese zu lösen. Ich kann einfach nicht die Potenzen von y' und y händeln! Hat jemand eine rettende Idee? Ich stehe wiedermal an so einem Punkt, wo ich mir endlos die Zähne an etwas ausbeiße, das eigentlich ganz einfach ist! :-D Vielen Dank im Voraus und frohe Weihnachten! Languste
26.12.2014, 21:18	Hausmann	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: inhomogene DGL 1. Ordnung besondere Form lösbar? Ob man damit der Lösung näherkommt, weiß ich nicht: Die Bezeichnung "Energiemethode" suggieriert eine quasi-physikalische Problemstellung, wo man es meinetwegen (kreativ ausgedrückt) mit einer konservativen (Potential-)Kraft zu tun hat (y'' als Beschleunigung gelesen): $\begin{eqnarray} y''=\frac{1}{\sqrt y}\overset{!}{=}-\frac{d}{dx}V(y),~V(y)=-2\sqrt{y} \end{eqnarray}$ und dem entsprechenden "Energiesatz" $\begin{eqnarray} \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{2}y'^2-2\sqrt{y}\right)=0 \end{eqnarray}$
27.12.2014, 14:08	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: inhomogene DGL 1. Ordnung besondere Form lösbar? Weshalb sollte man damit der Lösung nicht näher kommen? Das Verfahren benötigt die physikalische Analogie nicht. Lediglich der Name "Energiemethode" bezieht sich auf die Analogie. Man hat eine DGL der Form: $\begin{eqnarray} y''(x)=f(y) \end{eqnarray}$ Multiplikation mit $\begin{eqnarray} y' \end{eqnarray}$ ergibt: $\begin{eqnarray} y''y'=f(y)y' \end{eqnarray}$ Sei $\begin{eqnarray} F \end{eqnarray}$ eine Stammfunktion von $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ . Dann lässt sich das umschreiben zu: $\begin{eqnarray} \frac {d}{dx} \left ( \frac {1}{2}y'^2-F(y) \right ) =0 \end{eqnarray}$ Wenn das Problem aus der Physik stammt und x die Zeit ist, dann ist der Ausdruck in den Klammern eine Erhaltungsgröße, die man bis auf eine Proportionalitätskonstante als Energie bezeichnen kann, daher der Name der Methode. Unabhängig davon folgt rein mathematisch: $\begin{eqnarray} \frac {1}{2}y'^2-F(y) =c \end{eqnarray}$ Die Konstante $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ ergibt sich aus den Anfangsbedingungen der DGL. Damit ist die DGL 2. Ordnung auf eine DGL 1. Ordnung zurückgeführt, die man durch Trennung der Variablen löst.

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