blödes integral

26.12.2014, 20:39	akamanston	Auf diesen Beitrag antworten »
blödes integral hi, ich habe hier einen auftrag den ich nicht verstehe. ich soll die rekursionsformel zeigen: $\begin{eqnarray} \int \! \frac{1}{(1+x^2)^{n+1}} \, dx <br /> =\frac{1}{2n} \frac{x}{(1+x^2)^{n}} +\frac{2n-1}{2n} \int \! \frac{1}{(1+x^2)^{n}} \, dx \end{eqnarray}$ anscheinend soll ich mit partieller integration einfach integrieren. hatte gehofft die umformung macht es mir leichter. $\begin{eqnarray} \int \! \frac{(1+x^2)^{-n}}{(1+x^2)} \, dx \end{eqnarray}$ wenn ich den zähler als u wähle dann entsteht bei v der arctangens. also falsch aber wenn ich u als nenner wähle, dann wird es ziemlich kompliziert. hat jemand einen tipp?
26.12.2014, 22:23	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Manchmal hilft es, wenn man in Worten ausspricht, was eine Gleichung in Formelsprache sagt. Wenn ich der prägnanteren Sprechweise wegen den Funktionsterm mit der Funktion selbst identifiziere, könnte man es so sagen: Eine Stammfunktion von $\begin{align} \frac{1}{\left( 1 + x^2 \right)^{n+1}} \end{align}$ erhält man, indem man zur Funktion $\begin{align} \frac{1}{2n} \cdot \frac{x}{\left( 1 + x^2 \right)^n} \end{align}$ das $\begin{align} \frac{2n-1}{2n} \end{align}$ -fache einer Stammfunktion von $\begin{align} \frac{1}{\left( 1 + x^2 \right)^n} \end{align}$ addiert. Wenn du also die Funktion $\begin{align} G(x) = \frac{1}{2n} \cdot \frac{x}{\left( 1 + x^2 \right)^n} + \frac{2n-1}{2n} \cdot F(x) \, , \ \text{worin} \ F(x) \ \text{eine Stammfunktion von} \ \frac{1}{\left( 1 + x^2 \right)^n} \ \text{ist} \end{align}$ differenzierst, sollte sich $\begin{align} \frac{1}{\left( 1+x^2 \right)^{n+1}} \end{align}$ ergeben. Und wenn das herauskommt, ist der Beweis erbracht. Die Aufgabe ist somit eine simple Ableitungsübung, simpel natürlich nur insofern, als man keine irgendwie gearteten Ideen braucht, sondern einfach nach den Ableitungsregeln vorgehen muß. Natürlich ist die Aufgabe rechenfehleranfällig, vom Vorzeichenfehler über Fehler beim Bruchrechnen bis zum "Vergessen" der Kettenregel ist alles an Fehlerquellen drin. Die von mir vorgeschlagene Lösung ist vielleicht nicht im Sinne des Erfinders und befriedigt auch dich möglicherweise nicht. Die Leute wollen immer gerne das eine aus dem anderen herleiten und nicht nur nachträglich eine vorhandene Lösung verifizieren. Das tut aber der mathematischen Korrektheit keinen Abbruch.
27.12.2014, 00:47	akamanston	Auf diesen Beitrag antworten »
die aufgabe wurde im rahmen der gängigsten integrationtechniken gestellt. tipp der aufgabe: partielle integration
27.12.2014, 10:01	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn es nicht heißt: "Verwenden Sie zur Lösung partielle Integration", sondern nur "Tipp: partielle Integration", dann ist das Verfahren selbst nicht Teil der Aufgabe. Damit ist der von mir vorgeschlagene Lösungsweg zulässig. Es geht natürlich auch mit partieller Integration: $\begin{align} \frac{1}{\left( 1 + x^2 \right)^{n+1}} = \frac{\left( 1 + x^2 \right) - x^2 }{\left( 1 + x^2 \right)^{n+1}} = \frac{1}{\left( 1 + x^2 \right)^n} - \frac{1}{2} \cdot \color{red} \frac{2x}{\left( 1 + x^2 \right)^{n+1}} \color{black} \cdot x \end{align}$ Wenn du jetzt hierüber integrierst, kommst du zur gesuchten Formel. Beginne die partielle Integration mit einer Stammfunktion des markierten Ausdrucks. Er ist gerade so gemacht, daß sich eine Stammfunktion unmittelbar angeben läßt. Eventuell das Ergebnis in einer Nebenrechnung bereitstellen.

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