Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit x Würfeln höchstens eine y zu würfeln

27.12.2014, 00:21	Phawi	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit x Würfeln höchstens eine y zu würfeln Meine Frage: Hey zusammen, ich knoble an einer stochastischen Fragestellung. Wenn ich mit einer bestimmten Anzahl an Würfeln würfle, wie hoch ist die wahrscheinlichkeit, dass die höchste gewürfelte Augenzahl eine 1, 2, 3, 4, 5 oder eine 6 ist? um vom allgemeinen auf ein konkretes Beispiel zu kommen: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich beim Würfeln mit 4 Würfeln, als höchstes Würfelergebnis eine 3 erziele? Würde mich wirklich sehr über eine Antwort freuen Meine Ideen: Ich konnte das rechnerisch nicht lösen, habe also versucht mir eine excel tabelle zu basteln, um daraus auf ein Schema schließen zu können. Dabei habe ich die anzahl der günstigen möglichkeiten, durch die anzahl aller möglichkeiten geteilt (beispiel bei drei würfeln als höchste zahl eine 2: 6/(6^3) ) __________max. 1 max. 2 max. 3 max. 4 max. 5 max. 6 Ein Würfel 0,1667 0,1667 0,1667 0,1667 0,1667 0,1667 Zwei Würfel 0,0278 0,0833 0,1389 0,1944 0,2500 0,3056 Drei Würfel 0,0046 0,0324 Leider wird es recht schwierig, die anzahl günstiger möglichkeiten aufzuschreiben, da es dann doch recht viele werden
27.12.2014, 09:48	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit x Würfeln höchstens eine y zu würfeln Sei $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ die Zahl der Würfe. Seien $\begin{eqnarray} X_i (i = 1, ..., n) \end{eqnarray}$ die Zufallsvariablen für die $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ Würfe und sei $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ die Zufallsvariable für das Maximum der Wurfzahlen. Du suchst die Zähldichte von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} f_Y(k)=P(Y=k) \text {, } k=1, ..., 6 \end{eqnarray}$ Ein kleiner Umweg macht die Sache einfach. Bestimme zuerst die Verteilungsfunktion von $\begin{eqnarray} Y \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} F_Y(k)=P(Y \leq k)=P((X_1 \leq k) \cap ... \cap (X_n \leq k)) \end{eqnarray}$ Das ist einfach, da die $\begin{eqnarray} X_i \end{eqnarray}$ voneinander unabhängig sind. Es ist dann: $\begin{eqnarray} f_Y(k)=F_Y(k)-F_Y(k-1) \end{eqnarray}$ Dabei darf man $\begin{eqnarray} F_Y(0)=0 \end{eqnarray}$ postulieren.
27.12.2014, 12:15	Phawi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit x Würfeln höchstens eine y zu würfeln Hi, erstmal vielen dank für deine Antwort! ich glaube das ist noch nicht die Lösung meines problems, entweder konnte ich dieses nicht klar erläutern, oder ich verstehe deine Antwort nicht (diese ist für mich in der tat recht kompliziert zu verstehen, was genau bedeutet $\begin{eqnarray} F_Y(k) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_Y(k) \end{eqnarray}$ ok du schreibst $\begin{eqnarray} F_Y(k)=P(Y \leq k)=P((X_1 \leq k) \cap ... \cap (X_n \leq k)) \end{eqnarray}$ das würde für das Beispiel "Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich beim Würfeln mit 4 Würfeln, als höchstes Würfelergebnis eine 3 erziele?" soweit ich das verstehe bedeuten: P=(3/6)(3/6)(3/6)*(3/6)=(3/6)^4 Aber ich wollte nicht wissen wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist, dass kein Würfel höher als 3 ist (z.B. 2,2,1,1 oder 1,1,2,1) Sondern die Wahrscheinlichkeit, dass die höchste augenzahl eine drei ist (z.B. 2,1,3,3 oder 1,2,3,1) Gruß Phawi
27.12.2014, 12:36	Huggy	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit mit x Würfeln höchstens eine y zu würfeln Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist $\begin{eqnarray} f_Y(k) \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} F_Y(k) \end{eqnarray}$ ist nur eine Hilfsgröße, die ich benutze, weil das die Herleitung vereinfacht. Die Bedeutung der Begriffe Zähldichte und Verteilungsfunktion bei Zufallsvariablen solltest du schon kennen, wenn du dich mit solchen Problemen beschäftigst. Rechnen wir mal dein Beispiel durch, also $\begin{eqnarray} n = 4 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k =3 \end{eqnarray}$ . Wie du richtig ausgeführt hast, hat man: $\begin{eqnarray} F_Y(3)= \left ( \frac {3}{6} \right )^4 \end{eqnarray}$ Und es ist $\begin{eqnarray} F_Y(2)= \left ( \frac {2}{6} \right )^4 \end{eqnarray}$ Deine gesuchte Wahrscheinlichkeit ist nun: $\begin{eqnarray} f_Y(3) =F_Y(3)-F_Y(2)=\left ( \frac {3}{6} \right )^4-\left ( \frac {2}{6} \right )^4 \end{eqnarray}$ Anschaulich gesprochen: Wenn man von allen Fällen, bei den kein Wurf höher als 3 ist, alle Fälle abzieht, bei denen kein Wurf höher als 2 ist, bleiben die Fälle, bei denen kein Wurf höher als 3 ist, aber mindestens ein Wurf tatsächlich 3 ist.

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