Cauchyprodukt benutzen

27.12.2014, 05:44

lect

Cauchyprodukt benutzen

Sei $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{ \infty }\left \| z_n \right \| \end{eqnarray*}$ absolut konvergenz
Zeige unter CauchyProdukt, dass auch $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{ \infty }| z_n|^2 \end{eqnarray*}$ absolut konvergiert

Setze $\begin{eqnarray*} A:=\sum_{n=1}^{ \infty }\left \| z_n \right \| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{ \infty }| z_n|^2\leq \sum_{n=1}^{ \infty }| z_n| *\sum_{n=1}^{ \infty }| z_n|=A^2 \end{eqnarray*}$

Damit ist die Konvergenz gezeigt?

weiter zeige dass auch
$\begin{eqnarray*} (\sum_{n=1}^{ \infty }| z_n|^2)^{\frac{1}{2}}\leq \sum_{n=1}^{ \infty }\left \| z_n \right \| \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (\sum_{n=1}^{ \infty }| z_n|^2)^{\frac{1}{2}}\leq(\sum_{n=1}^{ \infty }| z_n| *\sum_{n=1}^{ \infty }| z_n|)^{\frac{1}{2}}= \sum_{n=1}^{ \infty }\left \| z_n \right \| \end{eqnarray*}$

P.S dabei ist mit $\begin{eqnarray*} | |=\left \| \right \| \end{eqnarray*}$ ,

27.12.2014, 14:33

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: cauchyprodukt benutzen
Wenn $\begin{align*} \sum\limits_{n=1}^\infty\left|z_n\right| \end{align*}$ absolut konvergiert, dann muss $\begin{align*} (\left|z_n\right|)_{n\in\mathbb N} \end{align*}$ eine Nullfolge sein. Was folgt daraus? Denke dann ans Majorantenkriterium um die Konvergenz der anderen Reihe zu zeigen.

Wenn du das Cauchy-Produkt benutzt, dann solltest du noch etwas ausführen, warum die eine Reihe von der anderen majorisiert wird.

28.12.2014, 04:57

lect

Auf diesen Beitrag antworten »

cauchyprodukt: Konvergieren zwei Summen absolut , dann auch deren Produkt.
Nach cauchyprodukt konvergiert $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{ \infty }| z_n| *\sum_{n=1}^{ \infty }| z_n| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{ \infty }| z_n| *\sum_{n=1}^{ \infty }| z_n|=\sum_{n=1}^{ \infty }| z_n|^2+ c >\sum_{n=1}^{ \infty }| z_n|^2 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} c:=\sum_{n=1}^{ \infty }| z_n| *\sum_{m \neq n, m=1}^{ \infty }| z_m|>0 \end{eqnarray*}$

weiter ist z_n eine nullfolge d.h es gilt auch $\begin{eqnarray*} | z_n|^2<| z_n| \end{eqnarray*}$ für genügend große n
und nach dem Majorantenkriterium konvergiert auch
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{ \infty }| z_n|^2 \end{eqnarray*}$

28.12.2014, 14:15

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von lect

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{ \infty }| z_n| *\sum_{n=1}^{ \infty }| z_n|=\sum_{n=1}^{ \infty }| z_n|^2+ c >\sum_{n=1}^{ \infty }| z_n|^2 \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \color{red}c:=\sum_{n=1}^{ \infty }| z_n| *\sum_{m \neq n, m=1}^{ \infty }| z_m|>0 \end{eqnarray*}$

Das Rote stimmt leider nicht. Das n ist nur ein Index in der einen Summe. Du kannst das nicht als Parameter in der anderen Summe benutzen. Oder sollte die rechte Summe noch Summand unter der der linken sein? Das wäre dann sehr missverständlich geschrieben, denn in der oberen Gleichung bezeichnest du mit * eindeutig das Produkt zweier Summen.

Aber folgendermaßen kannst du es schreiben, da gäbe es keine Missverständnisse:

$\begin{eqnarray*} c:=\sum_{n=1}^{ \infty }\sum_{\stackrel{ m=1}{m\neq n}}^{ \infty }\left| z_n\right| \left| z_m\right|>0 \end{eqnarray*}$

Im Übigen: Meine Anmerkung mit der (nicht-negativen) Nullfolge und Majorisierung der Reihe aus den Quadraten dieser Nullfolge war nur die Andeutung eines alternativen Beweises zur Konvergenz dieser Reihe aus Quadraten. Deine entsprechenden Ausführungen am Schluss sind nach dem vorangegangenen Beweis nicht mehr notwendig.

Ganz abgesehen davon, dass du hier an keiner Stelle den Weg über das Cauchy-Produkt nimmst, den du doch anscheinend wählen solltest. Bei diesem Weg hättest du das Produkt der beiden Summen erst mal als Cauchy-Produkt schreiben müssen:

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \left| z_n\right| \cdot\sum_{n=1}^\infty \left| z_n\right|=\sum_{m=2}^\infty y_m \end{eqnarray*}$

mit
$\begin{eqnarray*} y_m :=\sum_{k=1}^m \left| z_k\right|\left| z_{m-k}\right| \end{eqnarray*}$

(Nur um keine Verwirrung zu erzeugen habe ich hier einen neuen Index m benutzt, obwohl das nicht notwendig wäre).

In welchen Summanden des Cauchy-Produkts stecken jetzt die Quadrate? Betrachte diese und zeige, dass diese Summanden mindestens gleichgroß sind wie die in ihnen enthaltenen Quadrate $\begin{align*} \left|z_n\right|^2 \end{align*}$ . Die restlichen Summanden müssen danach natürlich auch noch verarbeitet werden.

29.12.2014, 04:28

lect

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \left| z_n\right| \cdot\sum_{n=1}^\infty \left| z_n\right|=\sum_{m=2}^\infty y_m \end{eqnarray*}$

mit
$\begin{eqnarray*} y_m :=\sum_{k=1}^m \left| z_k\right|\left| z_{m-k}\right| \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \left| z_n\right| \cdot\sum_{n=1}^\infty \left| z_n\right|=\sum_{m=2}^\infty y_m =\sum_{m=2}^\infty\sum_{k=1}^m \left| z_k\right|\left| z_{m-k}\right|=\sum_{m=2}^\infty\sum_{\stackrel{ k=1}{k\neq \frac{m}{2}}}^{ m }\left| z_k\right|\left| z_{m-k}\right|+\sum_{n=1}^{ \infty }| z_n|^2 \end{eqnarray*}$

ist das soweit korrekt?

29.12.2014, 04:47

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so geht's. Damit hast du die $\begin{align*} y_{2n+1} \end{align*}$ gleich miterschlagen, da $\begin{align*} \frac{2n+1}2\notin\mathbb N \end{align*}$ .

10.01.2015, 19:21

lect

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von lect

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \left| z_n\right| \cdot\sum_{n=1}^\infty \left| z_n\right|=\sum_{m=2}^\infty y_m =\sum_{m=2}^\infty\sum_{k=1}^m \left| z_k\right|\left| z_{m-k}\right|=\sum_{m=2}^\infty\sum_{\stackrel{ k=1}{k\neq \frac{m}{2}}}^{ m }\left| z_k\right|\left| z_{m-k}\right|+\sum_{n=1}^{ \infty }| z_n|^2 \end{eqnarray*}$

ist das soweit korrekt?

Hab meine Korrektur einhalten und es wird bemängelt, dass der Schluss fehlt.
ich dachte ich wäre mit der absoluten konvergenz durch, da ja nach cauchy die summe absolut konvergiert und damit auch $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{ \infty }| z_n|^2 \end{eqnarray*}$ verwirrt

10.01.2015, 19:56

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

Es fehlt wohl einfach die letzte Schlussfolgerung. Wenn du nur diese Gleichung hinschreibst, sagt das noch nichts aus.

10.01.2015, 20:02

lect

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Cauchyprodukt benutzen
$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{ \infty }| z_n|^2\leq \sum_{n=1}^{ \infty }| z_n| *\sum_{n=1}^{ \infty }| z_n|=A^2 \end{eqnarray*}$

Zitat:

Da der linke Summand der rechte Gleichung größer als Null ist folgt

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{ \infty }| z_n|^2\leq \sum_{n=1}^{ \infty }| z_n| *\sum_{n=1}^{ \infty }| z_n|=A^2 \end{eqnarray*}$

und damit ist absolute konvergenz $\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^{ \infty }| z_n|^2 \end{eqnarray*}$ gezeigt?

10.01.2015, 22:20

RavenOnJ

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Cauchyprodukt benutzen

Zitat:

Original von lect

Da der linke Summand der rechte Gleichung größer als Null ist folgt

Du meinst wohl "der linke Summand auf der rechten Seite der letzten Gleichung". Ansonsten richtig, das wäre die Schlussfolgerung.

Neue Frage »

Antworten »

Cauchyprodukt benutzen

Verwandte Themen