Konvergenz der Reihe 1/k^n mit Fourier & Bernoulli

27.12.2014, 10:21	esz	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz der Reihe 1/k^n mit Fourier & Bernoulli Hey zusammen, Ich habe gerade etwas Probleme mit folgender Aufgabe: Zeige mithilfe von Fourierreihen, dass: $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^{n}} = - \frac{(2 \pi i)^{n}}{2(n!)} B_n \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} n \in 2~\mathbb Z_{>0} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B_n \end{eqnarray}$ die Bernoulli Zahlen. Der Hinweis ist: Ziehe $\begin{eqnarray} B_n (x) := \sum_{k \in ~\mathbb Z_{>0}} k^{-n} e^{-ikx} \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} n\in~\mathbb Z_{\ge 2}, x \in ~\mathbb R \end{eqnarray}$ in Erwägung. Ich kenne das Basler-Problem und 1/k^4, aber hier tue ich mich schwer einen Ansatz zu finden. Ich habe diese Gleichung als Eigenschaft der Riemannschen Zetafkt. gefunden aber keine Herleitung mithilfe von Fourier, hat jemand einen Tipp, wie ich da ansetze? Danke im vorraus! LG (Die Bernoulli-Zahlen wurden definiert über $\begin{eqnarray} \frac{z}{e^{z} - 1} = \sum_{n=0}^\infty B_n \frac{z^{n}}{n!} \end{eqnarray}$ )

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