Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen (Schnittpunkt gesucht)

27.12.2014, 14:42

buenabueno

Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen (Schnittpunkt gesucht)

Meine Frage:
Für welchen Wert von a (a > 0) hat die von den Funktionen f(x) = x^2 und g(x) = -ax + 2a^2 eingeschlossene Fläche den Inhalt A = 4.5?

Meine Ideen:
Ich habe versucht, die zwei Schnittpunkte herauszufinden. Jedoch weiss ich nicht, wie ich das mit der unbekannten Variable herausfinden kann.
Aus x^2 = ax + 2a^2 bin ich auf -x^2 -ax +2a^2 = 0 bzw. (a-x) (2a+x) = 0 gekommen. Jedoch weiss ich hier nicht weiter.

Die Schnittpunkte brauche ich ja, damit ich dann die Grenze habe für G(x) - F(x) = 4.5.

Vielen Dank im Voraus,

27.12.2014, 14:46

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

(a-x) (2a+x) = 0

das ist doch schon perfekt. Hier kannst du die Schnittpunkte ablesen.

27.12.2014, 14:50

buenabueno

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich weiss irgendwie schon, was du meinst. Ich weiss aber nicht mehr genau, was das bedeuten soll. Wären jetzt die Schnittpunkte bei X und -0.5x? Ist das richtig?

27.12.2014, 14:54

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

nein, die Schnittpunkte hängen von a ab.

Verwende hier $\begin{eqnarray*} (a-x) (2a+x) = 0 \end{eqnarray*}$ , dass ein Produkt genau dann Null wird, wenn einer der Faktoren Null ist.
Damit erhältst du
$\begin{eqnarray*} x_{1}=... \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2}=... \end{eqnarray*}$

27.12.2014, 15:14

buenabueno

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber a kenne ich zu diesem Zeitpunkt ja noch nicht, oder?

btw Lösung für a ist 1.

Ich mache hier wohl einen Denkfehler, es will mir einfach nicht einleuchten.
Schnittpunke bei 1 und -0.5 stimmen also nicht, oder?

27.12.2014, 15:20

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt hängen die Schnittpunkte davon ab, wie die zweite Funktion aussieht. Es ergeben sich für unterschiedliche a natürlich unterschiedliche Schnittpunkte.

Ich werde dir die Schnittpunkte geben:
Wenn du dir die erste Klammer von $\begin{eqnarray*} (a-x) (2a+x) = 0 \end{eqnarray*}$ ansiehst, wird diese Null, wenn $\begin{eqnarray*} x=a \end{eqnarray*}$ ist. Die zweite Klammer wird Null, wenn $\begin{eqnarray*} x=-2a \end{eqnarray*}$ ist.

Demnach sind die Schnittpunkte
$\begin{eqnarray*} x_{1}=a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2}=-2a \end{eqnarray*}$

27.12.2014, 15:31

Bjoern1982

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Demnach sind die Schnittpunkte
$\begin{eqnarray*} x_{1}=a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_{2}=-2a \end{eqnarray*}$

Da sich das schon durch den ganzen Thread zieht:
Das sind Schnittstellen oder noch allgemeiner die Stellen, wo die beiden Graphen gemeinsame Punkte haben (es gäbe ja auch den Fall einer Berührung und da wäre Schnittstelle demnach auch unpassend).

(Wobei ich sehe gerade den Fehler macht nur Mi_cha, der Fragesteller formuliert völlig richtig mit Schnittpunkt bei ..., wobei auch hier "gemeinsamer Punkt" wegen eventueller Berührung treffender wäre)

Und damit bin ich wieder raus. Wink

27.12.2014, 15:36

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

ich entschuldige mich für den Fauxpas.

Auch wenn ich glaube, dass man mich verstanden hat Augenzwinkern

Es ist aber richtig, die korrekte Bezeichnung zu verwenden.

27.12.2014, 15:40

buenabueno

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe jetzt folgendes gemacht. Ich weiss nicht, ob das stimmt.

Stammfunktionen zusammengefügt, die Schnittpunkte a und -2 als Grenzen genommen.

(-1/2ax^2 +2a^2x -1/3x^3)
-> (-1/2x^2 +2x -1/3x^3) - (x^2 -4x -1/3x^3) = 4.5
-> -1.5x^2 + 6x - 4.5 = 0

-> (-6 +- sqrt(36-27))/-3
-> Lösungen 1 und 3.

aber 3 kann ja nicht sein, oder? 1 ist die einzige Lösung.

Ich glaube mein Fehler war, dass ich dann a in der Stammfunktion mit dem Schnittpunktwert ersetzt habe. also aus -1/2ax^2 wurde dann x^2. (Anstatt a habe ich -2 eingesetzt)

27.12.2014, 15:49

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst sind die Grenzen a und -2a (nicht -2!).
Wenn du die Grenzen in die Stammfnktion einsetzt - das soll wohl die zweite Zeile sein - sollte kein x mehr vorkommen, denn das wird ja ersetzt. Augenzwinkern

Der Einstieg sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} \int_{-2a}^a \! g(x)-f(x) \, dx =4,5 \end{eqnarray*}$

27.12.2014, 16:28

riwe

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Mi_cha
Zunächst sind die Grenzen a und -2a (nicht -2!).
Wenn du die Grenzen in die Stammfnktion einsetzt - das soll wohl die zweite Zeile sein - sollte kein x mehr vorkommen, denn das wird ja ersetzt.
Der Einstieg sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} \int_{-2a}^a \! g(x)-f(x) \, dx =4,5 \end{eqnarray*}$

samt Klammern Augenzwinkern

27.12.2014, 16:36

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

selbstverständlich Augenzwinkern

Man schaut und haut mir ganz schon auf die Finger heute traurig

Neue Frage »

Antworten »

Fläche zwischen zwei Funktionen berechnen (Schnittpunkt gesucht)

Verwandte Themen