Beweis Existenz Fixvektor

27.12.2014, 16:49

Maxwell97

Beweis Existenz Fixvektor

Meine Frage:
Hallo,
Ich soll zeigen, dass eine quadratische Matrix mit:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n i\cdot a_{ij} = j \end{eqnarray*}$

einen Fixvektor hat. Wobei n die Anzahl der Zeilen/Spalten ist.

Meine Ideen:
D.h. doch, dass die Matrix sich folgendermassen zusammensetzt(?):

Für j = 1 : $\begin{eqnarray*} a_{i1} = a_{11} + 2\cdot a_{21} + \left(...\right) + n\cdot a_{n1} \end{eqnarray*}$
...
Für j = n : $\begin{eqnarray*} a_{in} = a_{1n} + 2\cdot a_{2n} + \left(...\right) + n\cdot a_{nn} \end{eqnarray*}$

also z.B.:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann wäre der Fixvektor ja der Form
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t \\ t \\ ... \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich bin mir nur nicht sicher, ob ich die "Abbildungsvorschrift" richtig verstanden habe und wie ich das Ganze dann formal beweisen kann. Bin ich auf dem richtigen Weg oder muss/kann ich das besser über eine Art Hilfsfunktion zeigen?

27.12.2014, 17:07

Guppi12

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Hallo,

ich nehme mal an, du sollst zeigen, dass deine Matrix einen Fixvektor ungleich dem Nullvektor hat, richtig?

Zitat:

D.h. doch, dass die Matrix sich folgendermassen zusammensetzt(?):
Für j = 1 : $\begin{eqnarray*} a_{i1} = a_{11} + 2\cdot a_{21} + \left(...\right) + n\cdot a_{n1} \end{eqnarray*}$
...
Für j = n : $\begin{eqnarray*} a_{in} = a_{1n} + 2\cdot a_{2n} + \left(...\right) + n\cdot a_{nn} \end{eqnarray*}$

Was ist dort $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

dann wäre der Fixvektor ja der Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t \\ t \\ ... \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

In deinem Beispiel ja. Allgemein ist er das nicht.

Tipp: Schau dir mal $\begin{eqnarray*} A^T \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ \vdots \\ n\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ an. (Dabei soll $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ eine Matrix mit obiger Eigenschaft sein.)

27.12.2014, 17:49

Maxwell97

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Tut mir leid, wenn ich da jetzt nicht hinterherkomme,
aber an welcher Stelle hilft mir
$\begin{eqnarray*} A^T \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ \vdots \\ n\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ weiter?

$\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ ist ja nicht quadratisch und kann von daher nicht der Vorschrift entsprechen.
und als Fixvektor funktioniert es ja auch nicht :/ oder bin ich da einfach nur zu blöd?

Wie ich auf i komme ist mir auch noch nicht ganz klar, bzw. wie ich von da aus weiterkommen soll.

Ich kann die Gleichung ja auch nach $\begin{eqnarray*} a_{ij} = \frac{j}{\frac{n*(n+1)}{2} } \end{eqnarray*}$ umstellen.

Also die Matrix muss doch in jeder Spalte und somit in jeder Zeile gleich aussehen oder nicht?
Dann müssten $\begin{eqnarray*} x_{1}, \left(...\right), x_{n} \end{eqnarray*}$ des Fixvektors doch auch gleich sein oder?

Kann mir das sonst vielleicht jemand an einem Gegenbeispiel zeigen? Habe mich gerade mental total festgefahren Hammer

27.12.2014, 18:39

Guppi12

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ ist ja nicht quadratisch

Die Transponierte einer quadratischen Matrix ist nicht quadratisch?

Zitat:

und kann von daher nicht der Vorschrift entsprechen.

Soll sie ja auch garnicht. $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ entspricht der Vorschrift, nicht $\begin{eqnarray*} A^T \end{eqnarray*}$ . Du solltest dir trotzdem bitte mal

$\begin{eqnarray*} A^T \begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ \vdots \\ n\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ anschauen. Vielleicht siehst du dann ja, was dir das bringt. Wenn du einfach vorher abblockst im Sinne "das bringt eh nichts", kann ich auch nichts machen Augenzwinkern

Zitat:

Wie ich auf i komme ist mir auch noch nicht ganz klar, bzw. wie ich von da aus weiterkommen soll.

Du hast dort doch eine Gleichung hingeschrieben. Dir muss also klar sein, was $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ überhaupt in dieser Gleichung bedeuten soll. Ich weiß es jedenfalls nicht und deshalb habe ich nachgefragt.

Zitat:

Ich kann die Gleichung ja auch nach $\begin{eqnarray*} a_{ij} = \frac{j}{\frac{n*(n+1)}{2} } \end{eqnarray*}$ umstellen.

Das glaube ich kaum.

Zitat:

Kann mir das sonst vielleicht jemand an einem Gegenbeispiel zeigen? Habe mich gerade mental total festgefahren Hammer

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}1 & 2/7 \\ 0 & 6/7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

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