Stochastisches Integral bestimmen

27.12.2014, 17:12	Matheersti	Auf diesen Beitrag antworten »
Stochastisches Integral bestimmen Meine Frage: Hey! Ich soll für folgendes stochastische Integral die Normalverteilung nachweisen und den E-Wert & Varianz bestimmen: $\begin{eqnarray} \int_0^T \! H(B_{t}) \, dB_{t}, wobei \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} H(x):= I_{x>0}-I_{x<0} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B_{t} \end{eqnarray}$ die Brownsche Bewegung ist Meine Ideen: Habe mir überlegt das Intervall $\begin{eqnarray} \left[0,T\right] \end{eqnarray}$ mit Hilfe von stopping times zu zerlegen, z.B. $\begin{eqnarray} T_{2i+1}=min\left\{ t>T_{2i}: B_{t}>0 \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} T_{2i}=min\left\{ t>T_{2i-1}: B_{t}<0 \right\} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} T_{0}=0 \end{eqnarray}$ und man (o.b.d.A ?) annimmt, dass die Brownsche Bewegung zunächst ins Negative oszilliert. Dann könnte man den Integranden darstellen als: $\begin{eqnarray} H(B_{t} ):= \sum\limits_{i=0}^n (-1)^{i+1} I_{\left[T_{i},T_{i+1} \right) } \end{eqnarray}$ Anschließend könnte man die Definition des Stochastischen Integrals für Treppenfunktionen anwenden. Es stellt sich für mich jetzt nur die Frage, kann man das so machen? und falls ja ist $\begin{eqnarray} B_{T_{i+1} } - B_{T_{i} } \end{eqnarray}$ normalverteilt? Vielen Dank für eure Hilfe! VG
28.12.2014, 17:39	Matheersti	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist natürlich Quatsch, $\begin{eqnarray} B_{T_{i+1}} - B_{T_{i}} \end{eqnarray}$ wird wohl kaum normalverteilt sein. Hmm mir fällt gerade echt nichts mehr ein, hat keiner vielleicht einen Tipp für mich?

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