fouriertransformierte

27.12.2014, 19:46	Ciusen	Auf diesen Beitrag antworten »
fouriertransformierte Meine Frage: Hallo zusammen Let $\begin{eqnarray} \phi_{0} (x) = e^{(-1/2)x^2}, \end{eqnarray}$ and define $\begin{eqnarray} \phi_{n} (x) = (-1)^{n}e^{(1/2)x^2}((d/dx)^{n}e^{-x^2}) \end{eqnarray}$ . Show that $\begin{eqnarray} \widehat{\phi_{n}}(k) = C\phi_{n}(k) \end{eqnarray}$ , with $\begin{eqnarray} C = C(n) \in{\mathbb{C}} \end{eqnarray}$ Meine Ideen:* Offensichtlicherweise möchte ich zeigen, dass $\begin{eqnarray} \frac{\widehat{\phi_{n}}(k)}{\phi_{n}(k)}= C(n) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (d/dx)^ne^{-x^2} = g(x)e^{-x^2} \end{eqnarray}$ wo $\begin{eqnarray} g(x) \end{eqnarray}$ ein Polinom n-ten grades ist. Und meiner Definition der Fouriertransformierten $\begin{eqnarray} \widehat{\phi_{n}(k)} =\frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \! \phi(x)e^{-ik x }\, dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty} ^{\infty} \! (-1)^{n}e^{(1/2)x^2}((d/dx)^{n}e^{-x^2}) e^{-ik x }\, dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty} ^{\infty} \! g(x)e^{(-1/2)x^2}e^{-ik x }\, dx \end{eqnarray}$ komme ich somit auf $\begin{eqnarray} \frac{\widehat{\phi_{n}}(k)}{\phi_{n}(k)} = \frac{ \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty} ^{\infty} \! g(x)e^{(-1/2)x^2}e^{-ik x }\, dx}{(-1)^ng(k)e^{(-1/2)k^2} } \end{eqnarray*}$ Nun habe ich keine Ahnung wie ich das Integrieren soll. Zudem verstehe ich nicht wie sich jemals das k wegkürzen soll, da es in der Exponentialfunktion ja in verschiedenen potenzen vorkommt. Vielen dank für jegliche Ansätze, Tipps, Komplettlösungen oder alle anderen Hilfen.
28.12.2014, 10:27	Ciusen	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: fouriertransformierte
28.12.2014, 18:28	IlyasE	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich bin noch ziemlich neu darin, trotzdem möchte ich meine Idee nicht vorenthalten. Ich denke der Residuensatz wird dir hier weiterhelfen können. Gruß!

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