Gebiete in der Funktionentheorie

28.12.2014, 00:34

Atze1985

Gebiete in der Funktionentheorie

Meine Frage:
Hallo zusammen,
meine Frage bezieht sich auf den Begriff des "Gebietes" in der Funktionentheorie. Unser Professor hat diesen wie folgt definiert: Ein Gebiet ist eine offene und (weg-)zusammenhängende Menge $\begin{eqnarray*} G \subseteq \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ . Diese Definition findet sich auch in dem Standard-Lehrbuch zur Funktionentheorie von Freitag/Busam. Dort steht als Anmerkung zur Definition auf S.70:

"Die zusammenhängenden Teilmengen von M sind bekanntlich gerade
die Intervalle. Der Begriff des Gebietes ist also eine Verallgemeinerung
des Begriffes des offenen Intervalls."

Nun zu meiner Frage: Laut Definition sind offene Intervalle als Teilmengen von $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ doch gar keine Gebiete, oder nicht?! Ich meine, offene reelle Intervalle sind zwar offen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , jedoch nicht offen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ . Somit erfüllen sie auch nicht die Definition eines Gebietes,welches ja die Offenheit der entsprechenden Menge fordert. Also ist es nicht unbedingt zulässig, von einer "Verallgemeinerung des Begriffs des offenen Intervalls" zu sprechen, wenn dieser die offenen Intervalle gar nicht umfasst.

Was meint ihr?

Meine Ideen:
Stehen schon im obigen Text.

28.12.2014, 00:49

Iorek

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RE: Gebiete in der Funktionentheorie

Zitat:

Original von Atze1985
"Die zusammenhängenden Teilmengen von M sind bekanntlich gerade
die Intervalle. Der Begriff des Gebietes ist also eine Verallgemeinerung
des Begriffes des offenen Intervalls."

Hier sollte wahrscheinlich $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ statt M stehen? Zumindest steht es in der englischen Ausgabe so drin.

Du hast natürlich insofern Recht, dass ein (reelles) Intervall in $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ nicht offen ist. Allerdings ist das hier auch nicht so gemeint. Üblicherweise beginnt man ja mit der reellen Analysis und lernt dort Intervalle als (einzige) offene, wegzusammenhängende Mengen kennen. Das könnte man natürlich als Gebiet (in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ) bezeichnen, wäre aber unüblich. In $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ können Gebiete nun hinreichend wild aussehen, daher ist es zu Beginn hilfreich, die Beziehung zu bereits bekanntem zu ziehen und es als Verallgemeinerung zu betrachten.

28.12.2014, 01:22

Weihnachtsmathe

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Ein Gebiet ist offen und wegzusammenhängend, also ist ein offenes Intervall in $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ so etwas wie ein Gebiet. Man kann natürlich nicht erwarten, dass ein offenes Intervall dann auch ein Gebiet in den komplexen Zahlen ist. Im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ würde ist das auch nicht erwarten, und ich würde auch nicht erwarten, dass eine offene Kreisscheibe ein Gebiet im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ ist. Das ist halt auch eine Frage der Dimension. Niedrigerdimensionale Objekte können keine ganzen Kugeln um einen Punkt enthalten - trotzdem ist ein offenes Intervall aber in den reellen Zahlen so etwas wie eine eindimensionale Kugel. smile

28.12.2014, 17:32

atze1985

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Halo Iorek, hallo Weihnachtsmathe,
vielen Dank für eure Beiträge!
Gruß Atze

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