Ungleichung beweisen

28.12.2014, 01:08

klim

Ungleichung beweisen

Hallo, kann mir jemand helfen, folgende Ungleichung zu beweisen:

$\begin{eqnarray*} 1-(\lambda-(m+1)) \cdot \frac{m!}{\lambda^{m+1}} \cdot \sum_{j=0}^{m} \frac{\lambda^j}{j!} \leq \frac{\lambda}{(\lambda-(m+1))^2} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} m+1 < \lambda \end{eqnarray*}$ .

m ist dabei ganzzahlig mit $\begin{eqnarray*} m \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda > 0 \end{eqnarray*}$ reell.

28.12.2014, 01:25

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RE: Ungleichung beweisen
Das hattest du doch schon

28.12.2014, 01:45

klim

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RE: Ungleichung beweisen
Die Ungleichung, die ich vorher gestellt hatte war falsch formuliert!

28.12.2014, 01:57

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RE: Ungleichung beweisen
Und warum soll die Begründung hier nicht gelten? verwirrt

28.12.2014, 02:11

klim

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RE: Ungleichung beweisen
Welche Begründung?

28.12.2014, 09:33

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RE: Ungleichung beweisen
Die Begründung, die HAL 9000 dort gegeben hat.

28.12.2014, 14:06

klim

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RE: Ungleichung beweisen
Hab doch geschrieben, die Ungleichung DORT war falsch formuliert. Für diese falsche Formulierung war die Begründung OK, aber hier gilt es nicht mehr. Denn es ist nicht mehr klar, ob linke Seite immer kleiner - gleich 1 ist!

28.12.2014, 14:08

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RE: Ungleichung beweisen
Warum nicht?

28.12.2014, 14:10

klim

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RE: Ungleichung beweisen
Entschuldigung, war eilig.
Es ist nicht mehr klar, ob rechte Seite größer oder gleich 1 ist!

28.12.2014, 15:52

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RE: Ungleichung beweisen
Da hast du natürlich sowas von Recht.
Immerhin ist die rechte Seite $\begin{eqnarray*} \geq 1 \end{eqnarray*}$ , so lange $\begin{eqnarray*} \lambda > m+1\geq \lambda - \sqrt{\lambda} \end{eqnarray*}$ ist, während man dort induktiv bis $\begin{eqnarray*} m+1 \leq \lambda - \frac{\sqrt{\lambda}}{2} \end{eqnarray*}$ kommt.
Falls die beiden Ungleichungen äquivalent sind, was ich mir jetzt nicht überlegt habe, kann man das wohl zur Behauptung kombinieren.

Woher stammt das Problem eigentlich?

28.12.2014, 16:34

klim

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RE: Ungleichung beweisen
Es ist für meine Diplomarbeit.
Ich habe da einen großen Beweis und diese UGL ist eine Teil des Beweises!

28.12.2014, 18:14

Weihnachtsmathe

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RE: Ungleichung beweisen

Zitat:

Original von klim
Hallo, kann mir jemand helfen, folgende Ungleichung zu beweisen:

$\begin{eqnarray*} 1-(\lambda-(m+1)) \cdot \frac{m!}{\lambda^{m+1}} \cdot \sum_{j=0}^{m} \frac{\lambda^j}{j!} \leq \frac{\lambda}{(\lambda-(m+1))^2} \end{eqnarray*}$

für $\begin{eqnarray*} m+1 < \lambda \end{eqnarray*}$ .

m ist dabei ganzzahlig mit $\begin{eqnarray*} m \geq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lambda > 0 \end{eqnarray*}$ reell.

$\begin{eqnarray*} 1-(\lambda-(m+1)) \cdot \frac{m!}{\lambda^{m+1}} \cdot \sum_{j=0}^{m} \frac{\lambda^j}{j!} \leq \frac{\lambda}{(\lambda-(m+1))^2} \Leftrightarrow 1- \frac{\lambda}{(\lambda-(m+1))^2}\leq(\lambda-(m+1)) \cdot \frac{m!}{\lambda^{m+1}} \cdot \sum_{j=0}^{m} \frac{\lambda^j}{j!} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 1- \frac{1}{\lambda}\frac{1}{(1-\frac{(m+1)}{\lambda})^2}\leq \lambda(1-\frac{(m+1)}{\lambda}) \cdot \frac{m!}{\lambda^{m+1}} \cdot \sum_{j=0}^{m} \frac{\lambda^j}{j!}<br /> \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \frac{1}{1-\frac{m+1}{\lambda}}- \frac{1}{\lambda}\frac{1}{(1-\frac{(m+1)}{\lambda})^3}\leq \frac{m!}{\lambda^{m}} \cdot \sum_{j=0}^{m} \frac{\lambda^j}{j!} \end{eqnarray*}$ .

Der erste Term ist eine geometrische Reihe mit $\begin{eqnarray*} q=\frac{(m+1)}{\lambda} \end{eqnarray*}$

Eine schöne Eigenschaft der geometrischen Reihe ist

$\begin{eqnarray*} \frac{d}{dx} \sum_{i=0}^{\infty}x^i = \sum_{i=1}^{\infty}ix^{i-1} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} \frac{d^2}{dx^2} \dots = \sum_{i=2}^{\infty}i(i-1)x^{i-2}=+\frac{1}{(1-x)^3} \end{eqnarray*}$

Außerdem lässt die Reihe auf der linken Seite sich umformen zu

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{\infty}\big(\frac{m+1}{\lambda}\big)^i-(i+2)(i+1)\frac{1}{\lambda}\big(\frac{m+1}{\lambda}\big)^{i}=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{\lambda-(i+2)(i+1)}{\lambda}\big(\frac{m+1}{\lambda}\big)^i \end{eqnarray*}$

Auf der rechten Seite könnte man vielleicht auch noch umformen

$\begin{eqnarray*} <br /> \sum_{j=0}^{m}\frac{m!}{\lambda^{m-j}j!}<br /> \end{eqnarray*}$ , wenn es denn hilft (noch keine Ahnung).

Vielleicht hilft dir das ja weiter. Ich hoffe, ich habe mich nirgendwo verrechnet.

Edit Guppi12: Zeilenumbruch eingefügt, um Überbreite zu vermeiden

28.12.2014, 19:45

Weihnachtsmathe

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Entschuldigung, die zweite Ableitung enthält noch einen Faktor 2 und die entsprechende Reihe damit einen Faktor $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ . Außerdem kann man an der zusammengefassten Reihe noch sehen, dass sie nur bis zu einem bestimmten Summationsindex i einen positiven Beitrag leistet.

28.12.2014, 22:12

klim

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Vielen Dank für Ihre Hilfe!

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