Gleichungssystem lösen mit Gauß

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28.12.2014, 10:55	ritastic95	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichungssystem lösen mit Gauß Hallo Leute, ich stecke bei einer Aufgabe fest und weiß nicht mehr weiter. Die Aufgabe lautet: Für welche a besitzt das Gleichungssystem $\begin{eqnarray} 2x_{1}+3x_{2}-x_{3}+x_{4}=6 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -x_{1}+x_{2}+2x_{3}-x_{4}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} -x_{1}+6x_{2}+5x_{3}-2x_{4}=a \end{eqnarray}$ keine, eine eindeutige, unendlich viele Lösungen? Geben Sie im Fall a) und Fall c) den Rang der Koeffizientenmatrix sowie den Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix an. Ösen Sie das Gleichungssystem im Fall c) und geben Sie die Lösung in Vektorschreibweise an Bis jetzt habe ich den Gauß angewendet: $\begin{eqnarray} <br /> \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 1 & 6 \\ -1 & 1 & 2 & -1 & 0 \\ -1 & 6 & 5 & -2 & a \end{pmatrix}<br /> <br /> \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 1 & 6 \\ 0 & 2,5 & 1,5 & -0,5 & 3 \\ 0 & 7,5 & 4,5 & -1,5 \end{pmatrix}<br /> \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 1 & 6 \\ 0 & 2,5 & 1,5 & -0,5 & 3 \\ 0 & 0 & 9 & -3 & 12+a \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dann habe ich $\begin{eqnarray} 12+a=0 \end{eqnarray}$ gesetzt und komme dann auf $\begin{eqnarray} a= -12 \end{eqnarray}$ und das habe ich dann in die Gleichung eingesetzt und bekomme dann $\begin{eqnarray} 3x_{3}=x_{4} \end{eqnarray}$ heraus. Stimmt das bis hierhin? Und wie fahre ich dann fort? Bitte helft mir !
28.12.2014, 11:44	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß Der Übergang von der zweiten zur dritten erweiterten Matrix ist falsch
28.12.2014, 12:56	ritastic95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß dann ist die dritte erweiterte Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & 1 & 6 \\ 0 & 2,5 & 1,5 & - 0,5 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & a-6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
28.12.2014, 13:18	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß Das ist richtig
28.12.2014, 14:25	ritastic95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß Danke und wie gehe ich jetzt weiter vor? schaue ich jetzt, wo a null wird? also bei a=6 und setz es dann in das Gleichungssystem ein?
28.12.2014, 14:29	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß Nicht wenn a Null ist, sondern wenn a-6 Null ist. Einfacher ist der Fall, wenn $\begin{eqnarray} a-6\neq 0 \end{eqnarray}$ ist. Was kannst du dann über die Lösbarkeit sagen? Wenn das erledigt ist, a=6 einsetzen.
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28.12.2014, 16:14	ritastic95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß wenn ich jetzt $\begin{eqnarray} a-6 =0 \end{eqnarray}$ setze, heißt das doch, dass es für $\begin{eqnarray} a =6 \end{eqnarray}$ keine Lösung gibt oder?
28.12.2014, 16:17	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß wie kommst du denn jetzt darauf?
28.12.2014, 16:42	ritastic95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß wenn ich jetzt a=6 setze, fällt die letzte Zeile weg, oder? und dann habe ich sozusagen nur noch 3 Gleichungen statt 4. und was mache ich dann?
28.12.2014, 16:55	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß Ja, die letzte Zeile fällt weg und du hast noch zwei Gleichungen statt drei. Wie du vier Gleichungen zählst, verstehe ich nicht Dann wie üblich, freie Variablen wählen. Das hast du doch bestimmt schon mal gemacht.
28.12.2014, 17:48	ritastic95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß so... ich habe jetzt für $\begin{eqnarray} x_{3}=\lambda_{1} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x_{4}=\lambda_{2} \end{eqnarray}$ gewählt und dann bekomme ich für $\begin{eqnarray} x_{2}= \frac{0,5\lambda_{2}-1,5\lambda_{1}+3}{2,5} \end{eqnarray}$ und für $\begin{eqnarray} x_{1}=4,8-0,8\lambda_{2}-0,4\lambda_{1} \end{eqnarray}$
28.12.2014, 18:05	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß Wie kommst du auf $\begin{eqnarray} x_1 \end{eqnarray}$ ?
28.12.2014, 18:13	ritastic95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß ich habe $\begin{eqnarray} x_{2} \end{eqnarray}$ in die Gleichung $\begin{eqnarray} 2x_{1}+3x_{2}-x_{3}+x_{4}=6 \end{eqnarray}$ eingesetzt und nach $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ aufgelöst
28.12.2014, 18:17	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß ich bekomme etwas anderes heraus
31.12.2014, 12:18	ritastic95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß ich komme auf $\begin{eqnarray} x_{1}=1,2 -0,8\lambda_{2}+1,4\lambda_{1} \end{eqnarray}$
31.12.2014, 12:25	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß Das habe ich auch Edit: Bleibt noch der Fall $\begin{eqnarray} a\neq 6 \end{eqnarray}$
31.12.2014, 13:23	ritastic95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß Juhu den Fall, den ich jetzt ausgerechnet habe, war der $\begin{eqnarray} a-6=0 \end{eqnarray}$ oder? und wie rechne ich das jetzt für den Fall $\begin{eqnarray} a \neq 6 \end{eqnarray}$ aus?
31.12.2014, 13:58	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß Da musst du gar nichts rechnen sondern nur einen Blick auf die letzte Zeile deiner dritten erweiterten Matrix werfen.
31.12.2014, 14:42	ritastic95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß wenn a nicht 6 ist, ist der Wert entweder positiv oder negativ
31.12.2014, 14:44	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß Hast du meinen letzten Post überhaupt gelesen?
31.12.2014, 15:11	ritastic95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß ja schon aber ich weiß es nicht..
31.12.2014, 15:15	ritastic95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß wenn $\begin{eqnarray} a \neq 6 \end{eqnarray}$ ist, gibt es keine Lösung?
31.12.2014, 15:16	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß Das ist richtig, aber wie ist die Begründung?
31.12.2014, 16:31	ritastic95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß also wenn ich die letzte Zeile der dritten Matrix anschaue, sehe ich ja, dass alle Faktoren $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} x_{4} \end{eqnarray}$ null sind. D.h. doch, dass die Gleichung dann so aussieht: $\begin{eqnarray} 0=a-6 \end{eqnarray}$ . Wenn ich dann nach a auflöse, würde ich ja 6 erhalten, aber die Bedingung war ja $\begin{eqnarray} a \neq 6 \end{eqnarray}$ , also gibt es keine Lösung
31.12.2014, 16:34	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß wenn du damit meinst, dass alle Faktoren vor den Unbekannten $\begin{eqnarray} x_{1} \end{eqnarray}$ bis $\begin{eqnarray} x_{4} \end{eqnarray}$ null sind, dann ist das richtig.
31.12.2014, 16:48	ritastic95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß ja das habe ich gemeint also ich hab jetzt den Fall für keine Lösung und unendlich viele Lösungen. und wie mache ich jetzt den Fall für eine eindeutige Lösung?
31.12.2014, 17:08	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß Indem du mal nachdenkst, ob es den überhaupt gibt?!
01.01.2015, 11:16	ritastic95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß müsste ich das jetzt auch an der dritten Matrix sehen?
01.01.2015, 11:25	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß Daran sieht man es auch, ja, und das wäre bestimmt eine gute Übung für dich. Hier kannst du dir aber auch überlegen, welche Werte von a du schon betrachtet hast, wie das Ergebnis deiner Betrachtung war, und welche Werte von a du noch nicht betrachtet hast
01.01.2015, 11:36	ritastic95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß es gibt keine eindeutige Lösung, weil ich 4 Unbekannten hab und nur zwei Gleichungen oder?
01.01.2015, 11:51	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß Das ist richtig. Oder wenn du es mit der zugeordneten Matrix formulieren willst: Das LGS ist nur dann eindeutig lösbar, wenn der Rang der Matrix (den du auch noch bestimmen sollst, oder? ) gleich der Anzahl von Spalten der Matrix ist. Oder die Variante mit a: Für $\begin{eqnarray} a=6 \end{eqnarray}$ bekommst du unendlich viele Lösungen, für $\begin{eqnarray} a\neq 6 \end{eqnarray}$ keine. Eine andere Möglichkeit für a gibt es aber nicht, also kann der Fall eindeutiger Lösbarkeit nicht eintreten.
01.01.2015, 12:50	ritastic95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß oke alles klar, danke und wie bestimme ich den Rang einer Matrix?
01.01.2015, 13:00	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß Ein Blick auf die dritte Matrix genügt
01.01.2015, 13:47	ritastic95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß Im Fall a) und im Fall c) ist der Rang jedesmal 3. Sowohl die Koeffizientenmatrix als auch die erweiterte oder?
01.01.2015, 13:51	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß Wenn du deine Begründung aufschreiben würdest, könnte ich vielleicht sagen, wo du einen Fehler gemacht hast. So kann ich nur konstatieren: Falsch, falsch und falsch
01.01.2015, 13:53	ritastic95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß schade naja, ich dachte der Rang gibt nur die Anzahl der Zeilen an
01.01.2015, 14:02	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß Tja dann
01.01.2015, 14:31	ritastic95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß kannst du mir bitte noch weiter helfen?
01.01.2015, 14:35	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß Hast du inzwischen die Definition des Rangs einer Matrix nachgelesen? Wie lautet sie?
01.01.2015, 14:53	ritastic95	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gleichungssystem lösen mit Gauß 2. Versuch: Rang der Koeffizientenmatrix im Fall a) ist 2, weil man die letzte Zeile streichen kann (nur Nullen) Rang der Koeffizientenmatrix im Fall c) ist auch 2. Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix im Fall a) ist 3, weil man die letzte nicht streichen kann (Zahlen außer Null) Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix im Fall c) ist 2

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